主题：【原创】简单而深奥的博彩问题：1.为什么久赌必输？ -- 陈经
家园 【原创】简单而深奥的博彩问题：1.为什么久赌必输？ 简单而深奥的博彩问题
一。为什么久赌必输？
赌徒们用经验主义总结出了“久赌必输”这个道理，但能明白其中的数学原理的
人没有多少。
久赌必输，很多人以为根本原因是“庄家”用各种方法设置赌局甚至出老千，使
得赌局概率上偏向庄家不利于赌徒，长久下来，赌徒们就不行了。这是一种错误
的理解。
赌徒们输光，原因在于“久賭”。只要一次赌博赢的概率小于或者等于50%，赌徒
就必输光。概率小于50%长久会输光容易理解，但是等于50%也会输光么？这并不
很直观，也许不符合直觉，但可以有很简单的数学证明。
假设赌徒的初始资金是n，每赌一次或输或赢，资金分别变为n+1和n-1。求一直
赌下去资金变为0的概率是多少？假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).
那么我们有：
T(0) = 1
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.
这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。
那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。
设T(1)的值为a, 那么显然0<a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)
T(1) = a
T(2) = 2a - 1
T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2
T(4) = 4a - 3
...
T(n) = na - n + 1.
我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.
所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,
一直下去，T(n) = 1. 证毕。
这个证明过程并不是很容易想到（本人没看过参考资料，全是自己想的，但数
学理论界肯定早有这样的结果了），但绝不是特别难的东西。
这样，我们得到了一个有些违背直觉的结论：无论你有多少钱，你用50%的概率
赌下去，“久赌必输”。有些赌徒会一次押多些，不是一次1单位，但我们并不
难认同，这只会改变输的方式，只要是50%的概率，最后总是输光的。
本帖一共被 2 帖 引用 (帖内工具实现)家园 Gambler's Ruin 不过其实这个对双方一样，所以就看谁钱多
家园 什么乱七八糟的，一个简单的悖论！ 两人掷硬币对赌，一直赌下去，都输光，谁赢了？
家园 【原创】这个结果我是这样理解的 这个结果容易理解。
如果赌博从n开始，并且没有定死什么时候结束，就是默认永远进行下去。
然而，既然总是有概率变小，那么就一定有概率变成0。于是就有了以下过程：
如果还没变成0，那么，继续；
如果已经变成0，那么赌博结束。
所以只要赢得概率不是100％，那么最终的结果都是0。
家园 直观来说，正是这样 这要求对手是无限大，或者是极大。
事实上也不要求多大，10倍就够你喝一壶的了。前提是你的目的是赢光对手。
还有一个问题在于波动大小的总承受能力。直观上讲，假设每个赌徒钱一样多，赌场有3000个赌徒那么多的钱，那么，如果赌场容纳能力是300个赌徒，前提不变的情况下，这些赌徒基本全死定了。如果有6000个人进来赌，赌场的风险就比较大了。如果是30万人跑进来，赌场基本可以肯定玩完了。这些人全部赌大小，15W2K赌大，14W8K赌小，赌场完蛋的几率是50%……
问题就在于，30W人的统计涨落直接大于了赌场的资金总量，那你就等着玩完吧。
家园 数学还是让搞数学的人来搞吧 证明就是要在数学上说明你的理论正确，那么你的证明过程就必须无懈可击。而不是要靠实际情况的限制条件来推导。如果在你证明中没有的条件，你不能用实际中有的条件来限制，否则你的数学证明和你的结论就是两回事。
家园 伪证 “假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T(n).
那么我们有：
T(0) = 1
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.
这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。”
这第二个式子推导的有问题，如果可以这么推的话，你能推导出从n开始一直赌下去变为任意数的概率都是1。
T(n) = na - n + 1.
我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.
在之前楼主假设了n〉0，所以这个推导就不成立了。对于n〉0，a可以有无穷多解。
楼主在下面的回答中，总是强调在实际生活中的限制，那么请问，在实际生活中怎么可能达到无穷多次呢？为什么到0就结束而不是到其他数结束呢？0在这里没有任何特殊的地位，所以你的结论适用于任何数，我也可以从你的推导（假设你的推导正确，实际上根本不正确）中推出：一直赌下去，变成富翁的概率也是1。
家园 【嫁接】为什么久赌必赢? 一。为什么久赌必赢？.
赌徒们用经验主义总结出了“久赌必赢”这个道理，但能明白其中的数学原理的
人没有多少。.
久赌必赢，很多人以为根本原因是“庄家”用各种方法设置赌局甚至出老千，使
得赌局概率上偏向庄家不利于赌徒，长久下来，赌徒们就不行了。这是一种错误.
的理解。
赌徒们赢光，原因在于“久賭”。只要一次赌博赢的概率小于或者等于50%，赌徒.
就必赢光。概率小于50%长久会赢光容易理解，但是等于50%也会赢光么？这并不
很直观，也许不符合直觉，但可以有很简单的数学证明。
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假设赌徒的初始资金是n，每赌一次或赢或赢，资金分别变为n+1和n-1。求一直
赌下去资金变为2n的概率是多少？假设从n开始一直赌下去变为2n的概率是T(n).
那么我们有：.
T(0) = 1
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 对n > 0.
这第二个式子相当于数n有一半机会变成n-1，一半机会变成n+1。.
那么变换一下相当于T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。
.
设T(1)的值为a, 那么显然0<a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)
T(1) = a
T(2) = 2a - 1.
T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2
T(4) = 4a - 3
....
T(n) = na - n + 1.
我们知道T(n) >= 0对于任意的n成立。所以a必须为1.
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所以我们证明了T(1) = 1. 同样的过程可以得到T(2) = 1, ...,
一直下去，T(n) = 1. 证毕。
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这个证明过程并不是很容易想到（本人没看过参考资料，全是自己想的，但数
学理论界肯定早有这样的结果了），但绝不是特别难的东西。
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这样，我们得到了一个有些违背直觉的结论：无论你有多少钱，你用50%的概率
赌下去，“久赌必赢”。有些赌徒会一次押多些，不是一次1单位，但我们并不
难认同，这只会改变赢的方式，只要是50%的概率，最后总是赢光的
家园 可以用醉鬼走路概率来解释 按50%输赢几率，就是赌n次的赌资涨落为n的开平方。n的开方是n的单调函数，既n足够大时，你的赌本就输光了。
所以，50%几率虽然公平，但赌本长的人赢的几率总大于赌本短的赌徒，因为一旦你赌本输完，你就得滚蛋。
赌场50%的游戏也能赚钱，因为赌场赌本比谁都长。赌徒有输光的时候，但赌场永远有翻本的机会。
家园 赌场不见得总输不光，不过它有绝招 首先限注，其次，如果看到有高手出来捞钱会特别关照一下的，当然，人家既然能混成高手，自然知道分寸，不会把自己弄到出门就得仆街，有命赚钱没命花的地步。
家园 赌博要看赌什么 如果赌钱，这钱是一个人花长时间赚到/挣到的，那就会
输。赌博关键的是运气，花时间挣钱挣到手，也就是已经
有了运气：一旦他把这运气重新放到赌场上等于他放弃了
运气。就像一个人在一座桥上抛接自己的手机玩儿，下场
一定是掉河里。
