主题：【原创】方程，阿贝尔和伽罗华 -- 我爱莫扎特
前两天我回河友的帖子，提到了伽罗华，没想到引起大家那么大的兴趣。我把相关的讨论列在下面：
这些讨论基本上把伽罗华传奇的一生勾画了出来，本来话题到此为止，没什么可以添加的了。可昨天我看到一条消息：2009年度阿贝尔奖公布 俄裔法国数学家获奖
我突然意识到，自己犯了个不大不小的错误，在讲述方程历史的过程中，居然漏了一个非常重要的人物：挪威数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802－1829）。
在前文中，我简要的叙述了人们研究代数方程（一元高次方程）的历史。从Ferrari在1540年左右给出四次方程的求解公式，一直到伽罗华1830年左右的惊人发现，中间隔了300年，人们并不是一无所获。事实上，当我们拿到一个一元高次方程的时候，我们很自然的会问三个问题：
1， 方程有没有解（实数解，或者复数解）？有多少解？
2， 解的数值是多少？
3， 能不能用“简单”的公式把解都表达出来？
第一个问题的答案是：任何一个一元n次方程恰好有n个复数解。这就是所谓的“代数基本定理”，是高斯在18岁时给出的第一个解答。
第二个问题在牛顿发明了微积分后就变得不再困难。用牛顿切线法或其他类似的办法可以得到近似的数值解。
而第三个问题的答案，就是著名的“一元五次方程不可解”。确切的说，不是每一个一元五次方程都可以用加减乘除和开根的运算给出精确的解。而第一个发现这点的是阿贝尔，正是他在1825指出了这一点。此后，伽罗华在1829年明确的找出了怎样的方程能够有求根公式。
关于阿贝尔的资料很多，比如：
http://baike.baidu.com/view/32308.htm
http://ks.cn.yahoo.com/question/1309020301492.html
我就不详述了。
很有意思的是，阿贝尔与伽罗华有不少相似之处：
1， 两个人都在很年轻的时候，在同一个问题上取得进展。而他们在成功之前，都曾经错误的以为自己找到了五次方程的求根公式，改正错误后，终于做出惊人发现。如果我们把这些经历和非欧几何发现的过程结合起来一起看，会发现人类进步的道路总是那么相似，连走过的弯路都似曾相识。
2， 两人都早逝。如果说伽罗华是性格酿成的悲剧的话，阿贝尔的遭遇则让人悲伤。阿贝尔的社交能力并不弱，但由于他的发现无法及时的被社会承认，使得他长期没有经济来源，贫困加上疾病，终于使他在28岁那年去世。如果他还能坚持两天的话，他就能被告知获得柏林大学的教授职位！
3， 伽罗华的手稿是在去世后由好友转交给高斯。而阿贝尔在世时曾经主动联络过高斯。很遗憾，高斯没有给他们任何帮助。更可怕的是柯西。他对待伽罗华和阿贝尔的方式如出一辙，把他们的手稿一次次的弄丢。而柯西平时并不是一个马虎的人。在记载中，他好像只弄丢过这两篇论文，但都是如此重要！更令人无法理解的是，阿贝尔去世后，法国科学院终于承认他的工作，要将他的论文印刷出版，但从编辑到印刷工一次又一次弄丢稿件，使论文过了10多年才出版。
阿贝尔的工作并不局限于方程解的问题，他最重要的工作是对“椭圆函数”的研究。英年早逝的他是挪威历史上最优秀的数学家。2003年开始，挪威设立“阿贝尔数学奖”，每年颁发，奖金高达95万美元。阿贝尔奖成为菲尔茨（Fields）奖和沃尔夫（Wolf）奖之后，数学界第三重要的奖项。
希望这些介绍对大家有帮助。
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Just one comment
The first (though with a gap)proof of the impossibility theorem was given by an Italian mathematician, Paolo Ruffini, in 1799, before Abel was born.
Gauss might also know this fact.
不过Ruffini的证明不完全正确，Abel是第一个给出正确解答的人。高斯也对一类方程（分圆方程）的可解性做过研究。
此外，拉格朗日（Lagrange）的研究对最终的证明也很重要。
说起来，代数基本定理也是由达朗贝尔（D'alembert，他与狄德罗共同主编了第一部百科全书）先证明，但证明有错，后来包括欧拉，拉格朗日，拉普拉斯都试着证过，但都有错。高斯最终的成功是站在巨人肩膀上的。
让我不得不怀疑这家伙也在河里潜水呢...