主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包
这个“数学闲话”的系列，准备讲一些在我其他帖子中用得到的数学知识。
因为这些东西也许会在不同的地方用到，所以如果只附在某一篇中不是太合适。还有一个是，其他帖子也许讲的问题太过专门，不喜欢那些问题的朋友也许懒得看，却搞得不是讲专门问题的帖子也看不到，我觉得我很亏，写东西就是希望别人看的。再一个是这个系列的讲法，我准备稍多忽悠，比较形而上，大家也看得轻松点。
我也不知道会写多少，既然说是“闲话”，就不拘小节了。讲什么，讲多少，怎么讲，都不准备计划得太周到。扯到哪里算哪里，会讲得既不周全又不严格。大家呢，也看看过就是，不要太认真，要以不求甚解的态度来读。不过我既然说“其他帖子中用得到”，也会讲点稍微深入的东西，作些推导证明。如果你不看那些“其他帖子”，那么如果不爱看那些推导证明，跳过去就行。而看其他帖子的，我会在其他那些帖子里补充说明没讲清楚的部分。
目录：
明日枯荷包:数学闲话（一）——代数结构(2) 群环域那些玩意儿
明日枯荷包:数学闲话（一）——代数结构(5) 那么，有什么用呢？
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大家看一些数学或物理的科普读物的时候，有时候会看到一些行话：”变换群“啦，”整数环“啦，”实数域“”复数域“啦。一般不给你解释的，行话嘛。
其实这些”群“”环“”域“都是属于一类叫”代数结构“的东西，而这”代数结构“，是一种”数学结构“。这又来了俩行话。不过”结构“这个词，就不单单是数学里的事情了。比如藏猫猫同学讲建筑结构：藏猫猫:【原创】纸上谈匠· “結”与“構”，就和数学没啥关系，土木工程的同学们把这个词也当作他们的行话。还有许多其他的领域也是这样：
众工程师无语：哥，您走错门了……
于是我就在后面回了个帖：我的理解是，“结构”不是一种实物，而是一种关系
这话对土木结构来说是这样的，什么社会结构语言结构分子结构地质结构经济结构等等都是这样。对数学结构来说更是这样。关于土木结构我了解得不多不敢下定论，但是关于数学结构，我要强调的就是：数学结构就是数学对象之间的关系（的总和）。
光这么云里雾里咬文嚼字地扯淡没意思，举个例子看看。
我如果写：
1 2 3 5 4 6 7 8 9 10 11 ……
大家会觉得别扭，觉得这5和4好像写倒了。为什么呢？因为大家不自觉地觉得自然数有一个大小次序。这个”大小“，就是自然数之间的一种关系。随便拿两个不一样的自然数比方4和5吧，我们知道4<5，“x比y小”就是x和y之间的一种关系。有关系就出结构，按照行话来说，这个大小关系形成的次序，就叫“全序结构”，里面的“全”是说每两个自然数都能比出谁大谁小来。还有“偏序结构”，这时候两个元素之间不一定能比大小。“全序结构”和“偏序结构”都属于更广泛的“序结构”。
如果我光考虑偶数集，偶数之间照样有大小关系，所以偶数集合上也有个序结构。值得注意的是，如果我们把每个自然数对应到它的两倍，n->2n，这不仅仅是自然数集合到偶数集合上的一个一一对应（对每一个偶数，都有而且只有一个自然数对应到它上面），而且这个一一对应还保存了每一对自然数的大小关系：如果自然数x<y，那么它们对应的偶数2x和2y也有2x<2y的关系。于是这个一一对应保存了序结构。这样的一一对应，我们叫它同构，这是个行话，可是很容易理解不是？“相同的结构”。
就好像同一堆木材不一定只能搭出一种土木结构来，自然数集合上也不是只有一种序结构。按照大小关系是可以排出次序来，但是这次我规定比如说奇数总是排在偶数前面，而奇数和奇数比或偶数和偶数比，那么小的奇数仍旧排在大的奇数前面，偶数也类似。如果用《来表示这种关系的话，1《3《5《7《9《2《4《6《8。这个关系同样在自然数集合上定义出了一个序结构。而且这个序结构和前面那个自然数集合上按大小关系的序结构是不同构的。也就是说，你找不到任何一个自然数到自然数上的一一对应f，还能保存序结构：对任意的x<y，我们还有f(x)《f(y)。这并不难证明。不过要是你不是数学、物理或计算机专业出来的却也能证明，就说明你在数学方面的修养到了一定的火候。
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前面我们看见的序结构，是由一个二元关系决定的。所谓二元关系，就是说那个关系里有两个元素参与。但是所谓的“关系”，可以由更多的元素参与进来，比方说化学分子结构里的苯环结构，总得要六个碳原子一起参与，六个碳原子互相之间的化学键联系和空间位置关系的总体就形成了苯环结构。
数学里也有更多元的关系。比方说一个二元运算就能产生一个三元关系。我们平常做的加减乘除就都是二元运算，1+2=3，6-5=1什么的，两个数相加相减等，最后得出一个结果来。作运算有两个元素，得到一个结果，这样这三个元素就形成了一个关系。这样的关系也就能定义出来数学结构。由运算产生的关系然后定义出数学结构，这样的数学结构我们叫它“代数结构”，研究代数结构的学问当然就叫代数学。
不是数学系学的代数课往往叫高等代数啥的，这名字其实底气不足，说是高等，那是跟中学学的初等代数比。数学系或者是注重数学的物理或信息系，一般把那个课程叫线性代数，以表明那只不过是专门研究线性空间的代数学，而不是一般的代数学。一般的代数学，以前会叫“近世代数”，以表明其比较新的地位。就这还是谦虚的译法，英语里直言Modern Algebra，现代代数，言下之意当然就是你们学的那“高等代数”其实是老掉牙的古代代数。如今这现代或近世也过去好一会儿了，不那么新鲜了，于是大家一般说“抽象代数”，或者干脆就叫“代数学”，简洁中带着牛皮哄哄——这个才是代数，而你们那“高等代数”，咳！不说了。
一说抽象代数，首先要提的就是群环域这些玩意。它们就是一些代数结构。具体的严格定义我在这里就不说了，否则写出来的东西就又会象课本或者维基百科。
但是这不是说不是数学系的人就很难搞懂这些东西的严格定义。专业名词和行话有个好处就是能唬人，群环域啥的就是这样。其实要了解这些东西的定义，对一个普通人来说，并不是遥不可及的。当然要进一步了解理论就困难得多了。就好像陈景润先生研究的哥德巴赫猜想和他的1+2定理，一般人努力一下还是能了解，这是一个有关偶数和素数的关系的问题，不是研究为什么1+1=2和1+2=3。徐迟的著名报告文学中就讲到，陈景润曾让工宣队的工人师傅理解了哥德巴赫猜想说的是什么。但是他的具体理论，那就除了这方面的专家，连其他领域的数学工作者都难以理解。
上面我说了加减乘除。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，所以基本运算其实只有加和乘。加和乘往往有比减和除更好的性质。比如一般的数（比如自然数，整数，有理数，实数，复数）的加和乘都满足结合律：(1+2)+3=1+(2+3)，减法和除法就不行了，(1-2)-3和1-(2-3)就差远了。上面说的那些数集上的加和乘还满足交换律，1+2=2+1。但是有些集合上的加和乘就不一定满足交换律，比如矩阵的乘法就不满足交换律。加法和乘法之间还有分配律：(1+2)*3=1*3+2*3。代数结构就是把这样的带有运算的集合的性质抽象出来（要不怎么叫抽象代数）。
很粗略地说：
半群（半吊子群，还不是真的群，比群少了点东西）是上面能做加法的集合，所以自然数和它上面的加法构成一个半群。
群是上面能做加法和减法的集合。自然数上面有时做不了减法，2-3就不行。但是整数上就可以做减法。
环是上面能作加减乘的集合。整数上就可以做加减乘，所以整数和它上面的加法和乘法（减法因为是加法的逆运算，就不用提了）构成一个环，叫做整数环。
域是上面能作加减乘除的集合（除了不能除以0以外）。整数上不能做除法，3/2就不行。但是有理数，实数，复数上就可以，所以这几个和它们上的加法和乘法就构成了域，分别叫有理数域，实数域和复数域。
当然，这是非常粗略的说法，严格的定义中条件要细致得多。我上面说的是为了让大家理解一下群环域大约是什么样的东西。大家看见这些东西都是从运算产生出来的关系定义出来的数学结构，所以它们都是代数结构。
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离开自己的专业，最怕的就是行话，没头没脑就撂那里了，看半天也不知究竟，痛苦啊！
多谢楼主扫盲！
高等代数一次
离散数学再一次
成群妖孽｛乘、群、幺、逆｝
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一上来，看见被游识猷兄推举认证了，感谢一下游兄，也感谢一下支持的朋友。没说的，继续写。
话说光说不练假把式，光练不说傻把式，要又练又说，那才是真把式。前面谈了的代数结构啥的，大家说啦，你这加减乘除群环域都抽象出来，还叫抽象代数，可举些例子还是自然数实数之类大家都听厌了的，有新鲜一点的东西没？
这篇就讲个稍微新鲜点的东西。不过要开练了，就需要推导证明，数学就这样。所以也许会比较枯燥点，也需要大家自己拿张纸算算写写，以求能够较好地理解。这篇里的东西也是为把如何分摊秘密那篇东西继续写下去所做的准备工作之一，所以如果打算继续看那篇东西的朋友，这篇就不好跳过去不了解其中内容。
“同余”又是个行话，很牛B似的，其实很简单，就是“余数相同”的意思。
先取好一个自然数做被除数，比如10。每个整数都可以除以10，得到一个0到9之间的余数。如果整数以十进制表示就很简单，如果是大于等于0的整数，它除以10的余数就是十进制表示的个位数：
123456789/10 = 12345678*10 + 9
如果是小于0的整数，那么它除以10的余数，就是10减去十进制表示的个位数（如果个位是0，那就不用减了，余数当然还是0）：
-123456789/10 = -12345679*10 + 1
如果有人问，123456*777777除以10的余数是多少，大家一般不会傻到先老老实实把123456*777777算出来，再除以10看余数。只要看两数的个位数，算6*7=42，42除以10的余数是2，所以123456*777777除以10的余数也是2。
又比如，算3^1001被10的余数是多少，拿3去自乘1001遍再看个位？也没人愿意那么干。可以这么算：
3^4=9^2=81, 个位是1
于是
3^1000=(3^4)^250是一个个位为1的数字的250次方，它的末尾数字当然也是1。于是3^1001次方的个位是1*3=3。
我们可以看出来，在做加法乘法甚至是多少次方这些运算的时候，如果只要知道结果被10除后的余数，那么参加运算的那些数具体是什么不是很重要，我们可以先用它们除以10后的余数来代替它们，然后再做运算，再算余数。要算123456*777777除以10的余数，我们就可以用6来代替123456，用7来代替777777。
其实呢，何止6可以代替123456，16也可以，-4也可以，甚至是123456789876也可以，只要是除以10的余数是6的那些数都可以代替123456，用它来计算123456*777777除以10的余数。当然方便不方便另讲，但是结果一定不会错。
123456，16，-4还是123456789876，除以10的余数是相同的（都是6），以行话来说，它们“对模10同余”。行话的真正目的当然不是吓唬人，而是为了把话说得精练而严格。看见行话的应付方法就是把行话翻译成你熟悉的话。比方说有人问：“25和-36对模10同余吗？”这是在问25和-36除以10的余数是否相同，你知道一个是5一个是4，不同，于是你回答“否。”
可以模10当然也可以模其他，比如问“7和21对模7同余吗？”，7和21除以7的余数都是0，所以答案是“是”。计算123456*777777除以7的余数是多少也一样，同样不用先计算乘积再计算余数，而可以先计算余数再计算乘积：尤其是777777除以7余0，0乘啥都是0，所以123456*777777除以7的余数是0。
3^1001被7的余数是多少？
3^3=27，而27和-1对模7同余（余数都是6），所以
3^999=(3^3)^333除以7的余数和(-1)^333的余数是一样的，后面这个我们一下看出来(-1)^333=-1。于是
3^1001除以7的余数和-1*3*3=-9除以7的余数一样，是5。
通过观察上面的计算，我们有一种感觉，就是要计算一些数互相加减乘后对除以某数的余数，我们不一定要先算出加减乘的结果再算余数。我们完全可以选择我们觉得方便的，和这些数同余的数去做计算。比如说刚才在算3^999=(3^3)^333除以7的余数时，3^3=27除以7的余数是6，但是接下去如果算6^333还是麻烦，而-1和6对模7同余，并且(-1)^333很好算，于是我们就拿-1来算。
既然如果是互相同余的（当然那个模几先要固定下来的，否则6和-1对模7同余，对模10可不同余），我们就可以换着用而不影响最终结果，那么我们也就不需要区别谁是谁了，对于模7来说，-1就是6，6就是-1；0就是7，7就是0；1就是8就是15就是22就是……
于是如果我们固定好模7，整数集合就被分成了7部分：和0同余的那些数，和1同余的那些数，和2同余的那些数，……，和6同余的那些数，我们可以分别把它们写成[0]，[1]，[2]，……，[6]。想想[7]，[8]或者[-1]等都是什么？和8同余的那些数不多不少正是和[1]同余的那些数，于是[1]=[8]，同样地[0]=[7]，[-1]=[6]。
这些[0]，[1]……我们叫它们同余子集，因为每一个都是整数集的子集合。把每个子集合看作一个东西的话，按照前面所说，它们之间是可以做运算的：
[0]+[1] = [1]
[1]+[1] = [2]
……
[5]+[1] = [6]
[6]+[1] = [7] = [0]
最后这个式子有点特别对吧，但是其实很容易理解：除以7余数为6的数，加上除以7余数为1的数，其结果除以7的余数是0。同样地我们也有比如
[6]+[5] = [11] = [4]
[3]+[4] = [7] = [0]
减法也没问题。[0]这个东西很特别，无论谁加[0]还是它自己，跟整数里的0一样，行话叫”零元“。
乘法也一样，比如：
[5]*[5] = [25] = [4]
[2]*[4] = [8] = [1]
等等。[1]这个东西很特别，无论谁乘[1]还是它自己，跟整数里的1一样，行话叫”么元“。
如果我们考虑乘法的逆运算是除法，上面两个式子暗示着我们似乎有
[4]/[5] = [5]
[1]/[4] = [2]
这点其实是最有趣的地方，不过我们晚点再来看这事。
考虑模10的话也能定义出这些东西来，只不过现在有10个同余子集[0]，[1]，……，[9]。也有类似的加法和减法和乘法，乘法有点特别，比如
[2]*[5] = [10] = [0]
两个不是0的东西乘在一起成[0]了。在模7的时候你就找不到这种情况，大家可以想想这是为什么。
无论如何，在模7或者模10的时候，我们可以推广到模n（其中n>1）的时候，我们都能够把整数集分割成n个子集，如果把这些子集看作单个的东西，这些东西之间可以做加减乘的运算。于是，按照我们前面所说，可以做加减乘，这就是一个环。我们把它记作Zn（书上这个n是写成下标的，Z黑体，西西河上不好写下标，就将就这么写了）。比如上面我们看到，Z10里有10个元素，分别是[0]，[1]，……，[9]。我们前面看到的整数环，有理数域等等，里面都有无穷个元素，现在我们看到了一些只有有限个元素的环。
注意到Z7里有[0]，[1]，[2]等等，Z10里也有[0]，[1]，[2]等等，但此[0]非彼[0]，之间没有关系。Z7里的元素们可以互相作运算，Z10里的也一样，但是你不可以用Z7里的[2]去加Z10里的[5]，这就乱套了。当我们说这些[2]啊[5]啊的时候，必须首先已经知道了这是对模几说的，也就是Zn得固定下来。这是个细节，但是非常重要。
下一步，我们想办法要做除法，弄出个域来。
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作为记住群的定义的口诀到也不坏。
要把一个环弄成一个域，我们可以回想整数环是怎么给弄成有理数域的：本来在整数环里有些除法可以做，比如15/3=5，这可以通过3*5=15来解释。有些除法就不能做，比如1/3=?，没有什么整数乘以3会等于1的，作为乘法逆运算的除法在这个时候就没法定义。这时候，我们可以把1/3这样的元素补充进去，最后弄出有理数集合来，它在加法乘法下就是个域：有理数集合里加减乘除都能做（除了除以0以外）。
前面的Zn怎么把它变成域？很遗憾，上面这套加元素的把戏要么行不通，要么用不着（不过这套把戏在其他地方还是很用得着的，比如可以添加元素把多项式环变成有理函数域，这个在这里就不讲了）。具体来看看为什么。
先看Z10，我们前面说过它有个怪异的地方是有可能两个不是[0]的元素乘起来也会是[0]：
[2]*[5] = [10] = [0]
这就麻烦了。你说比如[1]/[5]得是什么？就算我加进去一个原来不存在的元素x，命令它就是[1]/[5]，那么我们会有[1]=x*[5]，现在等式两边乘[2]，我们就有
[2]=[1]*[2]=x*[5]*[2]=x*([5]*[2])=x*[0]
两边再乘以[2]：
[4]=[2]*[2]=x*[0]*[2]=x*([0]*[2])=x*[0]
这下好，[2]和[4]都等于x*[0]，于是[2]=[4]，这就乱套了。前面整数环可以变成有理数域，是因为没有这种会乱套的东西出来，而不会乱套是因为两个不是0的整数乘起来也不会是0。而Z10的性质就没这么好，所以没法变域。
再看Z7。它里面不会有两个不是[0]的元素乘起来得[0]。为什么？要是
[x]*[y]=[0]
那么[x*y]=[0]，也就是x*y能被7整除（除以7的余数为0）。可7是一个素数，除了1和自己就没有因子了，所以不是x可以被7整除，就是y可以被7整除，换句话说，不是[x]=[0]，就得是[y]=[0]。所以Z7里不是[0]的两个元素乘起来就不会是[0]。
你说这下好了，我们就可以玩整数环变有理数域的把戏了。可是用不着，实际上Z7不用添任何其他元素，它已经是个域了。在Z7里做乘法：
[1]*[1]=[1]，[2]*[4] = [1]，[3]*[5]=[1]，[6]*[6]=[1]
于是就象在整数环里不用添加元素还是可以做的那些除法一样，我们有
[1]/[1]=[1]，[1]/[2]=[4]，[1]/[3]=[5]，[1]/[4]=[2]，[1]/[5]=[3]，[1]/[6]=[6]
所有非[0]的元素其实都已经有了“倒数”（行话叫“乘法逆元”，到现在下面sywyang说的很牛叉的口诀中的“乘群么逆”大家都碰上了：乘法，群，么元，逆元）。
这下好了，任意两个元素的除法就解决了，比如：
[3]/[5]=[3]*([1]/[5])=[3]*[3]=[2]
而且这样的除法的确是乘法的逆运算：
[2]*[5]=[3]
Z7和Z10到底有什么差别，两个环的性质差这么多？一个成域是没指望了，一个天生就是域。大家应该早看出来了，7是素数，10是合数。是这样的，其实对于任何一个合数c，Zc里面都有两个不是[0]乘起来却是[0]的元素，于是没法成域。而对于任何一个素数p，Zp都天生是一个域，在里面加减乘除都可以。
有理数域，实数域，复数域这些域都有无限个元素，而Zp（p是素数）这样的域则里面只有p个元素，所以叫有限域。
那么到底有多少种有限域呢？这是个很重要的问题，叫做有限域的分类。
其实何止有限域，我们碰上一类东西，总喜欢给它们分分类，对原子们我们分出各种化学元素来，对力我们分出引力电磁力强力弱力来，对生物我们分出各界门纲目科属种来，就算政治上都要分出左中右来呢。分类问题无论在哪个学科里都是顶顶重要的问题之一。所谓分类，就是把各个个体按照一定的性质归类，同样性质的归一类，不同性质的归在另一类。考虑的性质不同，分类的方法也不同。比如对原子，我们如果只考虑原子核内质子的数目，那么分出来的类就是化学元素，同一种元素的各种同位素（核内质子数量相同但是中子数量不同）都给归成同一类了；但是如果还要考虑核内中子数量，那么各同位素会被归到不同类中去。中学里我们学过氢有三种同位素氕氘氚，化学性质都一样，对于化学家来说，把它们看作相同的也不离谱。但是它们的其他性质就差远了，氕也就是在太阳那个环境里能核聚变，地球上要搞核聚变，得氘氚才行，对于搞核聚变的工程师来说，把它们归一类就荒唐了。所以考虑的问题不同，分类方法也可能不一样。
有限域的分类是按什么方式分呢？当然是按照同构的性质来分类，也就是说，两个域算是同一类，当且仅当它们同构，也就是结构相同。比如2是素数，Z2是个域，它里面两个元素[0]和[1]，加法和乘法是这样的：
[0]+[0]=[0]，[0]+[1]=[1]，[1]+[0]=[1]，[1]+[1]=[0]
[0]*[0]=[0]，[0]*[1]=[0]，[1]*[0]=[0]，[1]*[1]=[1]
我现在定义另一个域，里面也有两个元素：”花“和”蛋“，它们也能做加法和乘法：
花+花=花，花+蛋=蛋，蛋+花=蛋，蛋+蛋=花
花*花=花，花*蛋=花，蛋*花=花，蛋*蛋=蛋
你说这”花+蛋“是有什么意义？啥意义也没有，也许是因为我要做蛋花汤想出来的呢，反正我这么定义了。但是稍微一观察，我们发现如果把”花“看作[0]，”蛋“看作[1]，它其实不就是Z2嘛：”蛋“”花“之间由加法和乘法定义出来的关系，和Z2中[0][1]之间由加法和乘法定义出来的关系是一样的。我们知道，结构就是这些关系形成的，于是蛋花域和Z2的结构是一样的：它们是同构的。代数学是研究代数结构的学问，它对结构是什么很关心；形成这些结构的元素具体是什么，是写成[0][1]还是蛋花，它并不太关心。所以有限域，或者是其他的代数结构，是以同构来分类的。两个代数结构如果同构，那么完全可以把它们看作是同一个东西。于是我们经常会在一些代数定理里看见”在同构的意义下唯一“这样的话。蛋花域和Z2当然不是同一个东西，一个里面是蛋花，一个里面是[0][1]（大家记得这其实是整数集合的两个子集，[0]里面元素被2整除，其实就是偶数集，[1]是奇数集），但是在同构的意义下，它们是同一个东西。
对每个素数p，我们都有Zp是一个域，其中有p个元素；不仅如此，代数学里可以证明，如果一个域里面有p个元素，那么它一定是和Zp同构的。换句话说，有p个元素的域，在同构的意义下是唯一的，就是Zp。
对某个合数c，是不是有恰好c个元素的有限域呢？对大部分合数都没有。只有形状如p^n的合数，其中n是个大于1的整数，存在在同构意义下唯一的一个域，其中元素恰好有p^n个。所以没有恰好有10个元素的域，但是有恰好比如说有2^2=4，7^2=49，3^4=81个元素的域。具体这些域是什么，比较复杂，这里就不说了。
于是上面两段叙述完整地解答了有限域的分类问题。
对于”同余“和本篇”有限域“，大家应该记住的，就是对于一个素数p，Zp是一个域，所以可以做加减乘除，里面的元素是什么，怎么做加减乘除，就够了。
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认证被通过了，速度之快超过我的预期。再次感谢游识猷兄和支持认证的那些热心的朋友。继续努力……
讲了一些群环域这些代数结构的事情了，大家也许会问了，这些东西的用处是什么呢？
一个数学理论，数学家们对它感兴趣，花时间精力（还有金钱，是国家社会等投入进去的）来研究，无非两个原因，一个是有趣，一个是有用。
某个数学对象被创造出来以后，往往就象有了自己的生命力一样，虽说现实世界中并不存在，但是也还是好像就在某处客观存在一样。比方说自然数，谁也没看见过“一”“二”“三”等等，我们看见的总是具体的一个人两个苹果啥的，但是从古希腊那时候，数学家们就对自然数的一些性质感兴趣，比如素数是不是有无穷多个啦，有没有奇完美数啦，到后来又问哥德巴赫猜想是不是成立啦，费尔马大定理对不对啦。许多这类问题就算回答出来了，一时也看不出有什么特别的用处，但是我们还是想知道答案，纯粹是好奇心作崇。群环域这些数学对象一旦被定义出来，也有了自己的生命力。比方说我们发现有有限域这样的东西，就会想到去问“到底有哪些有限域”这样的问题。其他数学结构也一样，象有限单群（元素有限的，不能被分解的群，有点象素数之于整数那样的东西）的分类问题，数学家们花了大约一万页的论文，把这个问题解决了。当然更多的是没有解决的问题。这是有趣，理论本身提出了自己的问题，只因为人类想知道，不为别的，这些问题就值得花钱花时间花精力去研究。当然有趣的东西未必就一定没有用，这两个不是互斥的。“有趣”本身就颇可以是一种用处，满足好奇心的用处。
再来说说有用。所谓有用，就是理论不仅能够处理自己提出的问题，还能对解决其他领域里的问题有帮助。这个其他领域可以是物理，化学，生物，信息科学，经济甚至是语言学等等不是数学的学科，也可以是数学的其他分支。
群环域这些代数结构的应用是非常广泛的，在这里不可能全罗列一遍。这里我具体闲话一下两个方面，只是在其他数学分支中的应用，至于在其他学科中的应用，应该是那些学科中的同学的科普任务，呵呵。
第一个方面，这些数学结构本身就是对数学其他分支中已经存在的一些对象的抽象。
比如说我们观察到从整数集上的加法和乘法可以产生一些有趣的现象，比如有时候一些整数之间可以做除法，有时候不行，从而定义出素数这样的概念来，我们又发现每个整数都可以被唯一分解成一些素数的乘积等等，我们观察到比如实系数的一元多项式集合里也有类似的现象：这些多项式之间可以做加法乘法，有些多项式比如x^2+1不可以再分解成更小的实系数多项式，而有些多项式比如x^3+1可以分解成(x+1)(x^2-x+1)，这种分解也是唯一的。这就启发我们，整数和实系数的一元多项式以及它们上面的加法乘法形成的结构有某些共同点。那么我们就可以试图把这些共同点抽象出来，在这种抽象的理论里，我们证明的定理就既可以在整数集上成立，又可以在实系数的一元多项式集合上成立。
在环论发展的实际历史上，并不是象一些教科书上叙述环理论的次序那样，是有个数学家灵机一动，刷刷刷写出一般的环的定义，然后发展了一大套理论，然后发现这些理论居然很碰巧地在整数集或实系数的一元多项式集合或其他什么集合上成立。不是这样的，历史上这个次序是倒过来的，数学家们首先研究的是一些很特别的环，他们当年刚开始研究的时候甚至还没有“环”这个名词。比如在试图解决费尔马大定理的过程中，受到n=3和4时证法的启示，一些数学家（比如Lamé，Kummer和戴德金等人）考虑了一些特殊的数的集合，这些集合上可以做加法和乘法，和整数集合相似。如果这些集合的性质和整数集一样好，也有类似“整数都可被唯一分解成素数的乘积”这样的唯一分解定理，那么模仿n=3和4的证法，费尔马大定理就得证了。很不幸的是（也许谈不上不幸，要不以后那些围绕着解决费尔马大定理发展出来的有趣理论都要晚见天日了，呵呵），其中一些集合上唯一分解定理并不成立。于是判断在哪些集合上唯一分解定理成立就成了一个重要的任务。在这些研究下，诸如唯一分解整环，戴德金整环（所谓的“整环”，就是其中两个不是零元的元素乘起来不会是零元，我们已经在前面的Z10上见识过这有多重要了）的概念被提出来（当年它们还不叫这些名字）。
“环”这个名字是德国大数学家希尔伯特给取的，英语里叫ring，法语里叫anneau，也就是“环”啊“圈”啊的意思。托尔金的奇幻大作“指环王”，在英文里是Lord of the Rings，如果放数学系图书馆里，插在代数类书架上，咋一瞧也许会被认为是哪位环论大师的传记。从现在的观念看来，当年希尔伯特的那些“环”也是很特别的一类环。如今一般的环的概念，是那二十多年以后才基本固定下来的。
其他的那些数学结构也类似，它们的有用性体现在它们是许多具体的具有运算的数学对象的抽象。对于这些抽象的数学结构的研究，能够使我们把握那些具体的数学对象的共同性质；而对某些具体数学对象研究的方法也可以通过这种抽象，提升到对抽象的数学结构的研究上去，从而使这些方法同样适用于其它具体的数学对象（就好像唯一分解定理原本是对整数才有的概念，提升到唯一分解整环上以后，又发现其他一些具体的数学对象如多项式环也是唯一分解整环，于是整数集上的许多定理就可以搬到多项式环等上去了）。
第二个方面，群环域这些数学结构可以用来作为描述其他数学对象性质的语言。这个话有点玄妙，所以要展开说说。
我们常常见到使用数来描述某些东西性质的做法。比如说，某人身高1.65米体重165斤，某个班级有60个学生等，数学上例子比如说某多项式方程有3个根，等等。这样的描述未必就完整地全面地刻画了这些东西，但是它至少描述了这些东西某方面的特征，让我们知道这些东西的某些信息。通过这些信息，我们足以推断出一些结论，比如那位身高1.65米体重165斤的朋友大概有必要减减肥，那个60个学生的班级的老师大概做不到因材施教，而那个有3个根的多项式方程的次数应该大于等于3等等。
使用数来描述性质，可称“定量”，是理论精密的一种表现。王小波在他的《关于格调》中有高论曰：
作为一个前理科学生，我有些混账想法，可能会让真正的人文知识分子看了身上长鸡皮疙瘩。对于“礼”和“色”，大致可以有三到四种不同的说法。其一，它们是不同质的东西，没有可比性；其二，礼重色轻，但是它们没有共同的度量；最后是有这种度量，礼比色重若干，或者一单位的礼相当于若干单位的色；以上的分类恰恰就是科学上说的定类（nominal）、定序（ordinal）、定距（interval）和定比（ratio）这四种尺度（定距和定比的区别不太重要）。这四种尺度越靠后的越精密。格调既然有高低之分，显然属于定序以后的尺度。然而，说格调仅仅是定序的尺度还不能令人满意——按定序的尺度，礼比色重，顺序既定，不可更改，舜就该打一辈子光棍。如果再想引入事急从权的说法，那就只能把格调定为更加精密的尺度，以便回答什么时候从权，什么时候不可从权 的问题——如果没个尺度，想从权就从权，礼重色轻就成了一句空话。于是，孟子的格调之说应视为定比的尺度，以格调来度量，一份礼大致等于一百份色。假如有一份礼，九十九份色，我们不可从权；遇到了一百零一份色就该从权了。前一种情形是在一百和九十九中选了一百，后者是从一百和一百零一中选了一百零一。在生 活中，作出正确的选择，就能使自己的总格调得以提高。
在格调问题上我就不发表自己的意见了，尤其是现在反三俗，提高格调又是一件很有必要的事情了。但是这里有一件事情是明白的：作为一种理论，越是能够定量研究的，就越精密，越容易验证和应用，越是只能定性分析的，就越粗糙，越难验证和应用。比如光说“礼重色轻”，就从不了权；得把礼和色量化了，也就是用数字表示出来，才能从权。
拿数字来描述性质已经很精密了。而群环域这些东西，能比用数字定量还要精密地描述一些数学对象的性质。对于某些数学对象，我们能够象说“某人体重多少”这样说“某某的xx群是什么”，这样，xx群就成为描述某某这个数学对象的性质的一种方式，正如数字能够描述某人的体重一般。
接下去我们稍微具体地看看两个例子：伽罗华理论和庞加莱猜想，在这两个数学问题上，群论就起了刻画它们所研究的数学对象的工具。
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很好的科普文章，用大家容易理解的话准确地描述了专业的东西。看了以后很受教育，谢谢。
我觉得您在描述膨胀和凝固的过程。
还有您说的
您把她的性别逆运算了。