主题：【讨论】中美小学数学教育比较 -- 二至
这里是一个比较中美小学数学教育的比较
作者马立平，主要论点有
中国小学数学一直以算术为核心，也就是整数和小数的四则运算，虽然可能有些枯燥，但是培养了学生的抽象思维能力。
而关于美国小学数学，以下论点：
1，美国（1960年代以前）小学数学也是以算术为核心。
2，美国数学教育改革从上世纪60年代起，试图加入许多高等数学的概念，如逻辑，函数，概率，推理等。她解释是因为当时苏联的压力，不过我觉得这只是她的猜测,也许还有别的原因，比如说想把小学数学变得更有趣。
3，这些改革把以算术为核心的体系，变成了多种数学知识并行的体系，比如包括运算，代数，解决问题，推理与证明，交流，度量衡，联系，数据分析和概率，表述这10项平行分支的体系。
4，虽然这些改革仍然口头强调这些分支的互相关系，但是只是浮于表面，实际上已经没有核心了，这使得美国小学教育体系不稳定，不连贯，不统一。
5，比如说之后的教育改革委员会都可以随意增减分支及其本身内容，这一点在之后的改革已经证明了。用马立平的原话：任何人一旦被赋予起草大纲的权利，就可以非常容易地更改数学教学的内容。另外，60年代的教育改革是数学家主导的，在70年代，中学教师介入了教育改革。
6，体系改变的后果之一是教师对教学目标的评价趋于主观化,非标准化，关于这一点文中附了一个小学科目的教学目标，可以看看。这一点我个人看法是，因为体系分支的支离破碎，使得小学教育无法连贯，所以教育水平下降，这导致教师只能降低标准，然后就只能用主观的评价标准来代替考试，不然没法让学生毕业了。
7，最终的后果是小学数学教学内容变得宽而浅。这一点与我对美国学生数学知识的印象是相符的。
8，美国小学教师虽然学历更高，但对算术的理解反而不如中国小学教师深，虽然后者学历更低。这可能是因为教育内容不稳定使得小学教师无法积累经验，同时无法培养对算术的理解，这可能是改革的恶性循环，算术没学好的小学生，长大后算术还是不好，然后再来教育下一代，而教育内容不稳定使得其无法在教学中加深对算术的理解。
在最后她提到中国在2000年开始有向美国标准学习的苗头，她觉得这是不好，因为基于美国的教育改革历史来看：结构性的改变，其影响会非常深远：理念可以调整，教学方法可以改变，但是结构散了，重建起来就不容易了。
以我对美国学生数学水平的印象，我觉得她基本说得对，但我对美国的教育不熟，教育改革之类的更是不懂，希望有内行来说说.
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
到现在为止，还没有一个回复是讨论小学数学的。希望能看到大家讨论小学数学，尤其是讨论马立平这篇论文。希望能够言之有据，至少马文中基本做到了。
我倒不是想来攻击这位马立平（应该是女士吧），可是一说起中国小学数学，我就很生气。
整个初等数学三条线：数、数量关系式、空间构成，但这只是表面，数学真正的实质是建立规则和应用规则，这里面有很深的文章可做，可是从小学到高中，几乎没有涉及过。从这个角度讲，中国的初等数学教学根本谈不上成功，甚至可以说是失败的。
这一点可以从数的定义开始说起，也就是进位制。作为成年人，我们都知道，二进位制可以表示无限数量值，三进位制也行，一百进位制更是没有问题，但是人类为何最终选择了十进位制，又为什么在后来发明了算盘、又发明了计算机呢？个人所见，这是在一种因时制宜、因地制宜、因材制宜的思维方式的指导下所做出的平衡选择，我们人类之所以选择了十进位制，是因为人刚好了长了十个手指头，长了一副天然的“算盘”；十进位制演变到后来，十个基本符号之所以可以演变成“一眼看不出来数量值”的抽象符号（比如一个人从来没有接触过数学，他看到2容易明白，还是看到||更容易明白呢？），也是一种基于人脑记忆能力、思考能力的平衡选择（2较之||是一个独立的符号，而||其实是一个符号的累计结果）；二进位制之所以并不为人类直接运用，而是转而交给由人类发明的计算机来使用，那是因为人脑的记忆能力有限，但计算机在这一点上完全超越了人脑。这是关于建立规则方面的内容。
在运用规则上，中国的小学数学极其重视运算能力，发明了若干口诀，但这并不是在教学生掌握如何运用规则，而是把“运用规则的一部分结果固化后”让学生去背诵。这若干口诀的存在，只是提高了老师的“教学成绩”，让老师在教学过程中“更加得心应用”，对于培养学生的思考能力不仅无益，而且有害，我实在无法认同，算术可以培养抽象思维能力的观点。举个例子讲，被除数是三位数，除数是一位数的竖式除法，小学教材里，教的一种口诀，叫商乘减比拉，但是人类在优化竖式除法的过程中，首先采用的方法是列多个除法竖式，比如675÷5，第一个除法竖式是得一个商，百位数上的1，同时得到一个余数175，然后再列一个被除数是175除数是5的竖式。重复这个过程，得到最后的商和余数。之后才将多级除法竖式合并到一起，用一个竖式来解决问题。可是这样的“升级”过程，在教学中是完全见不到的，学生从来没有机会去面对这样的问题：最原始但一定可行的解决方案是什么？如何从原始方案升到较为优化的解决方案？理论上更好但人类做不了的解决方案，有没有可能采取其它手段来实现？在十进位制下背下2*6固然有它有利的一面，但若在六进位制下，2*6还存在吗？我们现在是生活在21世纪，人类已经发明了众多智能机器来弥补人体的不足，为什么还要让人脑来干一些费力不讨好的事呢？从算盘到心算，这本身就是一种退化，本质上是一种反进化的产物（当然，心算能提高记忆力，但是提高记忆力的途径绝不仅限于心算），为何还要嘲笑美国学生只会用计算器呢？
需要说明的是，我无意于对比中美小学数学教学的优劣（至少在这个帖子里，或者说比较二者的优劣并不是目的）。中国的数学教学问题太多，多到我一想起来就头痛欲裂。
中小学方面的数学教育，美国全面烂和废了，中美无从比较。好比如果比较英文课教育，只能美国英国比较，美国中国比较很滑稽。美国学生的数学，比中国学生的英文还糟糕。中国中学生的数学比美国老师都好，全面的，绝不夸张。
美国基础数学教育确实常年搞改革，是瞎折腾，园丁土壤气候种子（或者说种子的爹妈）都不及格，教学理念方法风格路子，压根就谈不上，越改革越笑话。好比英文在中国，园丁土壤气候种子（或者说种子的爹妈）都不是那回事，改革可以五花八门，但结果都一样，同英语国家相比没戏。
小学平均水平，中国应该超过美国，但中国基本上只教算术，美国涉及一些其他内容。
中学也是中国平均水平高，但方差不大，水平比较平均因为有高考指挥棒。美国学生平均水平低，但方差比较大，好的很好差的很差，高中生不用花太多时间准备高考，喜欢数学的学生可以钻得很深。
大学研究生不说了，到一流大学里面看看美国真正好学生的水平。
道理很简单，传这种信息的中国人，自己数学不自信没把握说白了不是那块料，于是以为美国学生NB，其实那个美国学生只是比你NB而已，仔细观察你会发现，来自中国的学生更NB的更多。
每个学科都有一个打基础过程，是大脑相应区域开发的必经阶段。足球训练开始一年半载对着墙踢上１０万下，脚弓还是正脚背，左脚还是右脚，哪个先哪个后，优点缺点，在这个阶段都谈不上。学古文方向的，能读多少读多少，能记忆多少记多少，没有积累到一定程度，谈别的都是扯。
数学来说，高等代数三角甚至初期微积分之前，谈别的都是扯蛋。这个阶段也是脑力全面开发的重要组成部分，即使对文科生来说也很重要，好比理工科学生如果从没上过历史地理政治，也是半残废对不对。
中国的数学基础教育一点问题都没有，这是数学这个学科本身决定的。怎么好玩怎么学，可以，但学下去肯定成不了数学人才。
这个阶段另一个作用是让学生充分了解自己，选择今后的方向。对数学理工方面特长的学生来说，中小学只是脑力开发。大学本科甚至到硕士早期阶段尚属于打基础。走下去才有资格和条件考虑什么理念方法路线。
＂。。。人类已经发明了众多智能机器来弥补人体的不足，为什么还要让人脑来干一些费力不讨好的事呢？从算盘到心算，这本身就是一种退化，本质上是一种反进化的产物（当然，心算能提高记忆力，但是提高记忆力的途径绝不仅限于心算），为何还要嘲笑美国学生只会用计算器呢？＂
这段尤其大谬。１００年来医学科技发展够大吧，但我相信基本功１００年前什么要求，今天只会更高。类似你这种谬论，敢对医学界喷，肯定被抽破脸。物理，化学，唱歌，跳舞，弹琴，道理一样。没人敢喷其它学科的教育，却偏偏敢喷数学教育。美国也一样，是个人都可以对数学教育指手划脚。这种谬论已经害了美国数学教育，不要再用来毒害中国教育了。简单说吧，心算训练重点不在知识，更重要目的是开发脑细胞。什么学科都有语言。眼睛读着音乐谱，脑子响起音乐。音乐谱用来思维，表达和交流。这种训练１００年前怎样现在只能照旧。数学学习也一样，从最早数字心算开始。练到影响学生身体健康极端情况当然不对，但传统方法本身并没有错，而且必须。数学的思维，表达和交流，通过心脑手眼进行，开发阶段也必须如此，计算机机器人再发达也改变不了。
并不是说贴主你恶意，我其实很理解。但凡持你这种论调，多数是数学学得很痛苦，于是幻想并传播一种歪理，数学教育怎样怎样改革，人人都能成数学家。怎么可能呢，好比不可能人人成歌唱家。人的天份特长所在有差异，自己成不了歌唱家，不会太介怀。但数学学不好却容易梗耿于怀，原因是数学给人印象高贵，这是人的俗念。其实每个学科都只有少数人能成专业精英，学科本身并没有高下之分。
正好2015年Sloan ResearchFellows刚公布，大家可以看看。
http://www.sloan.org/fellowships/2015-sloan-research-fellows/
这当然不是一个完整的统计，但应该算是一个不错的抽样了吧。
加上changshou兄的那个贴，都说过很多。但你要是挪不动一个人的屁股，也就很难改变一个人的脑袋。
我儿子在德国上学,德国的基础教育水平在西方属于倒着数的,而我这里在德国每年统计都是副班长.在学校里的确学不到什么东西,家长们通常判断老师是否优秀的标准就是自己孩子上这个老师的课是否快乐.但有个面向全市各学校有兴趣学生的课外班.从七年纪起,在大学里每月一般两次在周六上一上午课,主要是做题,还是很难的,至少对我来说.我估计这种教学方法也不会是德国专利,美国肯定有类似的.其指导思想就是没天赋,没兴趣的你也别浪费时间了,反正也学不出什么名堂,但是如果想学能学,也一定给你提供机会.理论上讲真有数学天赋的人在这种体制下比中国式的更容易发展自己的特长,这就象精细加工和流水线生产,前者肯定精品率高
基数小。
＂理论上讲真有数学天赋的人在这种体制下比中国式的更容易发展自己的特长,这就象精细加工和流水线生产,前者肯定精品率高＂
１。中小学更准确说是育苗，还未进入加工程序。
培育幼苗就应该在正规农场，美国中小学的做法等于种子撒在沙漠。美国也严重缺乏正规农场和园丁，只能是沙漠式教育。绝大多数种子死了，有几棵强壮的能长出来，但也是歪苗子，到了大学往往需要付出额外努力，基本语法标点符号都需要辅导和更正。比方说，即使大文豪的天赋和潜质，写个请假条狗屁不通，如何往前走，如何能成材。
美国天才学生从小没机会了解或被正确引导，自己想象的数学世界，自我感觉很好，往往开学第一周就被我说服了，努力自觉往＂中国特色＂方向更正。
很简单的道理，如果分析和解题表达写得乱七八糟，说明脑子一团浆，指的是初级成熟定型的内容。这样的学习风格，初级阶段还勉强，随着内容增加，这个学生必定抓狂，不管天赋多高，结果只能是浪费和可惜。例如基础程度如归纳法或epsilon-delta定义，美国学生严重缺乏训练，包括理解和表达的训练，不补课的话，如何往前走。
顺便插一句，哪位朋友看到＂归纳法＂三个字，如果没有十足把握，也应该谨慎思考自己对数学教育的观点。
这样那样原因不能纠正路子的美国学生，包括被老师纵容，结果只能提早放弃，其中不乏天赋高的学生。相对地，来自中国的学生，基本不需要替他们操这个心，都能正常地走到自己天赋的最高值。
２。＂中国模式适合普通学生，美国模式适合天才学生＂。
这是想当然。美国模式，一把种子撒沙漠里也肯定随机长出几棵奇葩，能说明沙漠模式正确么？更多更大的天才却被沙漠扼杀了。即便这几棵沙漠奇葩，如果在中国正常土壤里培育，将来成就只会更大。自己觉得被中国模式扼杀了的人，真实原因是你不是数学那块料，但中国模式教育至少让你成为其它方面正常人才。如果你在美国模式里成长，绝对长成傻子，广大的美国人傻子本身就是铁证。
３。＂流水线，精加工＂。
社会需要不仅仅是数学精品，更需要大量普通产品。普通产品数量足够，精品自然能冒出来，被发现，被精加工。。。美国因为缺乏正常的数学产品，其它理工科领域深受其害，这美国模式还不应该被批倒批臭再踏上一只脚永世不得翻身吗。
４。流行的中美模式比较，歪理横行。原因之一是无视事实和数据，无视来自中国学生的成绩和成就。原因之二是无视现实因素。中国学生及家庭，包括已经完成学业事业有成的中国人，在美国需要负担学习和事业以外的巨大付出，比美国本土人大的多的多的多的多，却仍然赢的巨大声誉，这还不说明问题么。
至于中美国内全面的比较，牵涉的综合因素很多，而这些因素往往远超出教育界范畴，本人了解不够无权发言，但至少明白因素复杂程度不是想当然两三句话的结论。
５。流行的中美模式比较，歪理横行。唯一目的是企图将中国基础教育界也演变成美国的沙漠模式。
插个花絮。当年求学，本人因为不具有中国学生的一些条件，申请学位屡屡被拒。几个密切的朋友比我菜得多，但在美国修课的成绩单显不出差距，而朋友们具有中国人才背景和特征，学校录取他们，拒绝了我，同样经历在两个学校发生过，成了朋友间的笑话，我们功课抄老侯，申请成功，老侯被拒。当时小小郁闷更多的是自豪。本人经历是个案，但＂中国人才＂在美国是杠杠的品牌，这是不争事实。中美基础教育模式争论真应该停止了，再比较下去美国教育界脸真的没地方搁了。
贴主意思德国情况与美国接近，我不了解。以上讨论用＂美国＂作为代表，对讨论的内容应该没什么大的影响。
逻辑很强大啊
可比于我们的语文，如果这样比较的话，中国中小学教育中数学领先多少，语文可能就要落后多少，甚至更大一些。接触过一些本地的大学生，虽然我的英文水平未必能有资格评价，但以个人之见，其平均国文水平平均要高出中国大学生甚多。英美学校国文教育，从小学开始就要求做调查写报告，做与写结合，应用性很强，个人以为是很好的方式。
数学方面，周围几个家长中，有一个把小孩放在本地顶尖的私校学习，学的很深很快很难，小学三年级就开始有微积分的东西，确实很惊人，不知道为什么要提的这么早？
再说也不是整个小学阶段都在学口决吧？
背口决解决了大多数人的心算问题，属于普及型教育，到商店里买东西，别人算的有问题至少能看的出来，这个技能到哪个世纪都不会过时；如果有人有天分有兴趣想研究背后的道理可以上奥数，想试试二进制八进制下怎么算乘法，可以上计算机班。这个，我觉得是蛮合理的安排。
这个你要是嫌死板不培养学生的思维，要是看到加拿大小学生看到3X5就开始在纸上划格格然后数数岂不是要吐血？
你说的数学里＂真正好的学生＂根本不存在，也就不存在＂美国真正好学生的水平＂，所以我说没见过完全成立。我的逻辑是否强大，你复习一下基本逻辑课再下结论吧。
学生学的都是已有的知识，存在学得下去和学不下去的区别，这方面中国学生比美国学生强不止几条街。
到了创造新知识的阶段，同样不存在什么＂真正好的＂，而是一个不断突破和被突破的状态，这方面中国人也是名满美国。