主题：【原创】今天的数学（系列） -- qiaozi

真的要谈稠密度，或者是密度，我们就要认真的考虑一下密度的定义了。一般地说，密度就是满足条件的元素的个数除以全体元素的个数。但是例如我们说２００７的倍数在自然数中的密度是１／２００７又是什么意思呢？无穷大除以无穷大终归是不太好的。仔细想想，我们其实是在说明这样一个事实：如果任意给定一个上界，那么小于这个上界的２００７的倍数只有有限多个，小于这个上界的自然数只有有限多个，所以我们可以计算它们的商，而且这个商将随着我们上界的不断增大而越来越接近于１／２００７。

算一下吧。1/2007大概是0.0004982561036。如果我们取上界是1000，那么小于1000的自然数有1000个，但是没有一个2007的倍数，所以商是0/1000=0。如果我们取上界是10000，那么那么小于10000的自然数有10000个，其中有四个2007的倍数，所以商是4/10000=0.0004，有一点点接近了。但是如果我们取上界是一亿，100000000，那么这个商便是49825/100000000＝0.00049825，已经很接近上面的1/2007了。可以想象，如果这里的上界更大，那么这个商会更接近1/2007。

所以，为了准确地考虑素数在自然数中的密度的概念，我们这里需要两个东西：

１．对于任意给定的一个上界，小于这个上界的素数的个数。

２．对于任意给定的一个上界，小于这个上界的自然数的个数。

后者是显然的，就是这个上界（的整数部分）本身。前者是不显然的，所以我们给它一个特殊的名字，叫做弼马瘟。哦，不是，是一个特殊的记号，记作

π(x)＝小于或者等于x的素数的个数

所以π(2)=1，π(10)=4，……

习题　计算π(20)。

现在的问题便是，π(x)作为关于x的函数，究竟是什么样的呢？当然，因为素数分布的不均匀性，我们不指望π(x)本身有很简单的表达式，但是至少我们会希望可以用一个简单的表达式来近似的表达π(x)，就好像用x（而不是x的整数部分）可以近似的表达小于x的自然数的个数一样。

好，说到这里，我们的老家伙该上场了。他便是A-M Legendre（勒让德）（１７５２—１８３３）。他研究了当时已知的素数表（从１到大至４０万的所有素数），通过一些实验近似和拟和估计，在１８０８年提出了一个猜想

π(x)≈x/(ln x-1.08366)

注意　在数学里面，当我们说到对数的时候，几乎所有的时候我们都是在说自然对数，也就是说是以e=2.71828…为底的对数，有时候写作ln(x)，有时候写作log(x)，都是一回事。我们中学里学的常用对数（以十为底的对数，lg(x)）几乎从来用不到。

我们可以从下面的图像上看出Legendre这个估计的精确程度，其中实线是π(x)，虚线是Legendre的估计。

点看全图

是不是找不到虚线了？这个拟和度还是蛮高的。事实上，π(400000)= 33860，而Legendre的估计给出的是大约33853.7。相当精确！

Legendre的这个估计已经相当简单了，只要一个复杂一点的计算器就可以很快的而且相当精确的估计出素数的个数，不用再一个一个的去数。Ｇｏｏｄ　ｗｏｒｋ！只是这个估计有三个问题。

１．这个估计中的那个常数1.08366很丑陋，长得太对不起听课的同学了。更重要的是，它丑陋得一点算术意义都没有（至少就我所知），没有意义的丑陋就实在太丑陋了。

２．当x很大的时候，它和π(x)的差别就比较明显了。例如，如果我们取x为４百万亿亿（4乘以10的22次方，4×10^(22)），那么小于x的素数有大约7.839万亿亿（783964159852157952242），而Legendre的估计给出的是大约7.849万亿亿。这似乎没有什么，至少精度在千分之1.5以内。可是，如果我们考虑一个简单得多的估计，把那个丑丑的1.08366换成漂漂的1，那么相应的估计给出的是大约7.837万亿亿，反而更精确了，达到了万分之四！既然如此，我们忍受这个丑陋的1.08366的目的何在呢？

３．在Legendre提出他的估计大约四十年以后，Chebyshev指出，如果Legendre的思路是对的，那么一般来说那个丑陋的1.08366一定不如我们漂漂的1来得精确。所以，至少我们应该考虑估计式

π(x)≈x/(ln x-1)

所以，Legendre同学一定是错的，尽管Chebyshev同学也没有正确到哪里去。

那么应该正确到哪里去呢？

你们慢慢先找着，我去给大家拿手电筒去……

（待续）

习题答案　８。你猜对了吗？

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复【原创】1.2.3 数数素数有多少之其实也没多少之……

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【文摘】照例，轻松一下

这次说点啥尼？