主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特
家园 这个例子不好 “第五公设不可被前四条公设证明” -- 这个论断虽然足够明显（驰名），但是要证明其正确性一点都不简单啊。那些家伙不是花了两千年么，而且本楼主题也是这个，再而且，我从来就没明白，只是记着结论了。
抛开第五公设不谈，能不能有一个什么简单的例子，这个例子证明什么命题是不可证明的。比如：
老铁英明神武
证明：
老铁、英明、神武都是西西河有定义的概念。
但是，老铁如果英明神武了，就必然不英明神武；如果不英明神武，就必然英明神武。
所以，完全没法证明。
呵呵，见谅啊，胡话太多了。
- 复 这个例子不好
家园 人会下蛋吗？ 柏拉图
定义1：人是没有羽毛的两脚动物；
定义2：蛋是……；
定义3：下蛋是……。
命题：人会下蛋。
这个命题有意义。成立？还是不成立？在上述定义（公理）中无法得到答案，不能证明也不能证伪。
- 复 人会下蛋吗？
家园 这个例子好 让我明白点儿了。不过这么看起来公理体系常常会遇到自己无能为力，而又有意义的命题。
让我想想，这将暗示了什么。。。
- 复 这个例子好
家园 不完备性一点不稀奇 公理体系的公理不够多的话当然有很多属于自身体系的问题不能回答了，这个一点不稀奇，一般的想法是逐步往这个体系里添加公理，最终应该能够达到完备化。但是哥德尔（第一）不完备定理说如果自洽（不自相矛盾）的公理体系足够大（大到其中有自然数理论），那么它就不可能通过添加有限条公理达到完备，也就是说，如果你的体系复杂到一定程度，就必然破绽百出，怎么修补都修补不过来，足够简单的体系才可能做到天衣无缝，但是体系太简单的话又没办法描写我们这个多姿多彩的世界。
希尔伯特的欧氏几何公理体系忠实描写了R^3上的几何学，因此必然是不完备的；Tarski的几何公理体系是完备的（公理体系自身是完备的，属于该体系的任何一个命题都能得到证明或者证伪），但是这个体系描写的对象只是R^3几何学的一部分，连度量都没有定义（度量要用到自然数，注意这里说的是“没有定义”，不是不允许定义度量，Tarski的几何公理体系有公理保证度量可以定义，但是没去实施），从这个意义上讲又是不完备的（不能担负起描写R^3几何学/直觉上的平面或立体几何学的任务）。
哥德尔（第二）不完备定理说任何足够复杂的自洽体系的自洽性无法在体系框架内得到证明。
至此人们对公理体系的三个要求死了大半：
1. 独立性，各条公理必须相互独立，这条其实无关紧要，很多时候为了方便特地把一些不独立的命题也加到公理行列中去；
2. 自洽性；
3. 完备性。
希尔伯特呕出七八十两血。
家园 吐血吐血 如果，所谓公理体系是人们用来描述认知的模型。也就是说，首先定义一些最基本的实体概念，再定义一些关系概念，最后给出论断。例如：
定义男人；定义女人
定义爱；
论断：男人爱女人
那么现在的局面是：无法构造一个“好”的模型。人们要么构造一个模型，虽然自洽，但是只能描述很少的事物。要么使用较为丰满的模型，但是很快就会出现模型不置可否的命题。而且还不能够通过把上述不置可否的命题纳入公理体系来解决这个尴尬。
这么说，似乎我们根本没有办法，完全把头脑中创造的概念体系化。有很多概念/命题好像浮在空中，不属于任何体系。
- 复 吐血吐血
家园 比这个还要糟糕的是“不可判定性定理”的存在 不完备性定理说总有一些命题无法证（证明或者证伪），那么能不能装鸵鸟，把这类命题找出来造个监狱关起来不去理睬？“不可判定性定理”说一个足够复杂的体系中不存在一种（按部就班的，程序性的）方法来判断一个命题是否可证。监狱造不起来，不可证的命题可能就潜伏在你的身边。判断是否可证（是可证明性，不是要求寻找证明方法）需要发挥人的聪明才智，具体情况具体分析。
这是一个坏消息，数学家的事业永远不能完成；
这又是一个好消息，数学家永远不用担心失业。
家园 上花，好文章 挖坑的技术也不赖。。。。
家园 好像高斯确实发现了非欧几何，而且没有发表。 所以，说高斯是反派不恰当吧。
可是，这和勾股定理有虾米关系聂？等着。
- 复 【原创】上帝之书
家园 【原创】勾股定理（二）--- 非欧几何前传 让我们暂时离开一会儿勾股定理，来看看几何学的变迁。
现代西方文明，来自于辉煌的古希腊时代。几何学无疑是希腊文明中最璀璨的几颗明珠之一。我们中学里学习的几何源自于古希腊欧几里德（Euclid）（约300 BC）的《原本》（The Elements）。欧几里德的著作是古希腊数学（不仅仅是几何）的集大成者，他收录了他的先辈与同时代数学家的思想，并以最严格有序的方式整合成文，记载下来，流传至今。
外链图片需谨慎，可能会被源头改《原本》，2000年来不断被人重印
外链图片需谨慎，可能会被源头改据说是保留最完整的古代《原本》
西方文明，乃至人类文明的演进是与对大自然规律的不断认识相伴相随的。认识规则，运用规则，改变规则乃至认识更高层次的规则，这是人类生产力不断提高的内在动力。人类很早就知道要将“规则”写下来，共同遵守。不论是社会方面的《汉谟拉比法典》，宗教上的摩西《十戒》，都是很好的例子。科学上，最经典的例子无疑是《原本》。
《原本》在一开始就提出5条公设及若干运算规则，并由它们出发，推导出所有的结论。这些公设都是一些浅显易懂，“不证自明”，让人觉得不承认它们都不好意思和人打招呼的“废话”。比如第一条是说，过两点可以连一条直线。运算规则也很浅显，比如：两个数分别与第三个数相等，它们也相等。这些基本假设数量少，内容“浅”，却无比强大，2000年的发展中，由它们出发推导的几何定理数量庞大又美仑美奂，真正是无与伦比。欧式几何学体系完美的体现了本文的主题：简单而不平凡！
外链图片需谨慎，可能会被源头改欧式几何是2000年来科学的标准语言之一，对人类发展影响巨大的牛顿（Newton）巨作《自然哲学之数学原理》（上图）通篇都采用欧式几何进行推导，其中他论述了微积分这一直接导致第一次工业革命的数学工具。而同时代的莱布尼茨（Leibniz）则采用较代数化的推导。两人的学术之争及优先权之争最终导致英国与欧洲大陆科学界长达百年的割裂。
不过，科学家们都是怀疑主义者，事情太顺了，总有人不满意。随着时间的推移，人们开始把眼睛盯上了第五条公设。这条著名的平行公设是说：过一条直线外一点，有且仅有一条直线与原直线不相交（称为平行）。人们发现，这条公设似乎有点多余。它在全书中几乎是个摆设，唯一被使用的地方是用来证明一些平行线的性质，而此时全书已经过了一半了。给人的感觉是，这条公设本来没有，是老欧写书写到那里发现混不下去（四条公设不够用），拿来凑数的。于是一代又一代数学家前仆后继，试图证明老欧犯了错 ------ 第五公设不是公设，只是前四条公设的推论。
估计不少朋友会觉得这些后人们很无聊，多一条公设少一条公设真的那么重要么？我想说的是，简单，对于科学研究来说，不仅仅是美学要求，而可以说是最高标准之一。欧式几何的五条公设，牛顿三大定律，麦克斯韦八大方程，狭义相对论两条公设，这些完美的理论，一次又一次的告诉我们，“简单”所蕴含的无穷力量。科学界对这一标准的坚持是一贯的。法国大数学家Poincare比Einstein早大半年发表了狭义相对论的主要成果，唯一的区别是他用了三条公设，其中一条后来被爱因斯坦证明是冗余的。结果是，狭义相对论这一牛顿之后物理学最重大的革新之一被归于爱因斯坦一人。
接着说几何学。人们对第五公设的追逐可以用前仆后继来形容，但一千多年过去了，却没人可以成功证明第五公设。然而不懈的努力并非没有回报，人们找出了许许多多与第五公设等价的命题，其中就包括我们的主角 ------ 勾股定理。还有很多人从反面出发，假设第五公设不成立，试图推导出一系列“荒谬”的结论，最终导致与其他公设的矛盾，从而证明第五公设（即反证法）。这些看似徒劳的工作终有一天被人重新提起，大放光彩。
本帖一共被 2 帖 引用 (帖内工具实现)家园 据说非欧几何就是站在这条公设的废墟上搭建起了大厦。 接着说几何学。人们对第五公设的追逐可以用前仆后继来形容，
