主题：【原创】勾股定理（十）--- 坐标（续） -- 我爱莫扎特
家园 还是有区别的 分段函数的不可微的点只有可列个，而我说的是“处处”不连续，差别相当的大。
事实上很久以来人们根本不相信存在这类函数，考虑函数的时候都是自动考虑分段光滑函数，当然人们也知道存在“坏函数”，就是Dirichlet函数这种干脆处处不连续的函数。换言之，人们一直认为连续性和可微性是相伴随的。
直到德国大师维尔斯特拉斯（Weierstrass）找到一个反例。这在数学史上是非常重要的事件，打个不恰当的比喻，有点像杨李发现宇称不守恒。一下子改变人们的观念。
维大师和法国的柯西大师的一系列工作将微积分的面貌完全改写，变成清晰，严格，才使得今天普通大学生都能理解学习微积分。
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家园 能不能讲一讲这个反例？ 智力驽钝，有点想不明白。
请点拨。
家园 给你几个链接 要说智力愚钝的话，牛顿之后差不多200年的数学家都要被归入此类了，呵呵。老兄可别这么说。
这个例子不那么显然，基本的思想就是我文中提到的分形：局部和整体相似，也就无法做局部线性化。
网上有复旦大学陈纪修教授的课程[URL=http://you.video.sina.com.cn/b/19124970-1566422530.html
]视频[/URL]，以及课程教案。wiki上也有介绍。我就不献丑了。
补充几句，这个经典的例子让人们关注起“病态数学”，此后的勒贝格（Lebesgue）积分也是关注病态函数（如Dirichlet函数）上如何积分。从历史上说，无理数，乃至超越数，虚数，非欧几何，黎曼流形等等都曾经是“病态”的代表，但历史证明它们再正常不过。20世纪的数学有很大程度是对“病态数学”的研究，将数学的疆域拓展了不少。
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家园 原来是通过级数搞的，聪明！ 很多级数函数不连续，他加上cos使他连续来。
这个思路很棒。不是一般的牛。
很想再花一个。可惜老铁不给。
家园 应该花魏大师 窗户纸捅破后，例子就源源不断的出现了，你可以放狗搜一下，蛮多例子的。
我中学时手头还有一本书，都是讲这个。
数学家除了做证明外，构造反例也是很显功夫。
此外，个人认为最重要的例子，是我文中提到的布朗运动。正是由于它处处连续又处处不可导，恰好可以用来模拟股票走势。这是因为根据金融数学的基本原理，股票价格必然是没有规律的，每时每刻都让人搞不清楚方向（否则顺着方向买就赚大发了），也就不能有导数！
这个说下去就没底了，有机会再一点一点写吧。
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家园 花一个，谢谢，我慢慢咀嚼去了。
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家园 谢谢额，你要是不讲一下，偶也根本不相信
家园 关键是“处处”
家园 收藏收藏，送花送花，学习学习，受教受教 家园 绝对精品 家园 难道是沙发？
