主题：【原创】金融定量分析的习题解答开源运动：序 -- 厚积薄发

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习。

数学分析是大学数学专业的入门课程，和微积分的区别在于更偏重理论，也就是充满了传说中的 epsilon-delta 语言。学好数学分析，不光对数学、物理、工程类的专业课学习有所帮助，对于从事定量金融分析也大有裨益。稍微偏颇一点地说，金融定量分析就是数学分析和概率论在金融中的应用。

只学会微积分就好象只学会了一门手艺，常常会知其然而不知其所以然。只有学好了数学分析，才能把手艺上升到理论高度，成为一门科学。

靓仔，想发财吗？想泡美女吗？请学好数学分析！

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广告打完了，转入正题。按时间顺序说说我曾读过的数学分析教材。

我读的第一套数学分析教材是汴京大学数学系自编教材，第一卷由方企勤编写，第二卷由沈燮昌编写，第三卷由廖可人、李正元编写。这套教材的优点是叙述严谨，覆盖面广，风格上沿袭老毛子的俄式风范，对学生的训练比较充分。缺点是写得太严谨，有的时候显得直观不足，尤其是第三卷讲述高维空间的积分时，没有及时引入微分流形的语言，使积分的处理显得琐碎繁杂。但总体说来，这是一本值得精读的教材，能够帮助我们打下坚实的基础。

与这套教材配套的习题集，在我念大学时是系里自编的一套习题集，很好很强大，可惜毕业时没有保留下来。我自己另外把六卷本《吉米多维奇数学分析习题集》从头到尾做了一遍（该习题集有完整的解答），感觉受益匪浅。对我帮助很大的另外一本书是《分析中的反例》，可以帮助读者建立很好的分析直观，是数学分析教学中的经典参考书之一。

现在回头看，感觉《吉米多维奇数学分析习题集》有不少题目重复，逐一看下来有些浪费时间。我大学时代利用课余时间研读，前后花了近两年的时间，费时有些太长了，不过好处是我的分析底子也由此打下基础。

有人以为数学分析太难，只有数学专业的人才能学懂，其实不然，关键是教材和讲法。我曾经给一个只有微积分基础的工程系美国学生讲基于数学分析的偏微分方程，就是满篇都是 epsilon-delta 做估计的那种理论偏微分方程。小妹妹发现都能听懂，激动之余还给俺送了一个带学校图徽的大茶缸子--在美国，这种有知识产权的东东都巨贵，俺当时还是颇为得意了一下滴。

这个例子是一个很好的说明，说明只要方法得当，讲述清楚，数学分析是人人都能学得门儿清的。当然，俺也比较会忽悠，RateMyProfessor.com 上学生们给我的微积分课打分是4.2分（满分5分）。

前面所述这套教材成书于1986年。由于数学分析这门课程已经比较成熟，科研上并没有太多的新突破，所以年代久远并不是问题。前几天问才博士毕业的师弟师妹们，他们在本科也还是用的这套教材。

我读的第二套数学分析教材是张筑生先生所著三卷本《数学分析新讲》。后来汴大出过一本《数学分析解题指南》（林源渠、方企勤编），曾提到该解题指南特别适合于作为《数学分析新讲》的配套辅导教材。我没有细读过这本解题指南，不过想来不差。

我在这里想要重点推荐的，就是张筑生先生的这套《数学分析新讲》。具体原因我一时没有时间精力说清--我在序言里曾说过不能在此费太多笔墨，不过等以后我给大家讲其他东西，比如数值分析的时候，这本书的好处就显现出来了。一言以蔽之，“关系万千重”。

我可以向大家保证的是，《数学分析新讲》和上一套教材覆盖的内容都差不多，你们不会少学了什么。但是《新讲》更直观，以一例证之。一位朋友是隔壁皇宋大学的高材生。大学时参加理科试验班，具体的名目已经忘了，大概就是加强包括数学在内的基础科学训练。他们所用的数学分析教材就是《新讲》。当时他的一位同学学完之后意犹未尽，想看看汴京大学的科班出身都用什么教材，遂找来86版的老教材。看完之后身心俱残，彻底对数学分析失去兴趣，而这两套书讲的内容基本上都是一样的！

我读的第三本数学分析教材是Spivak的《流形上的微积分》，国内翻译的版本里有双语版的。我学习这本书的动机是觉得张筑生先生的《新讲》虽好，唯有对高维空间的积分，尤其是复杂曲面上的积分处理得还不够简洁，很好奇应该如何用微分流形和微分形式的语言来叙述清楚。

Spivak 这本书我读了之后，觉得还是没有把流形上的微积分讲清楚。书的前半部分其实很好，就是后来开始讲链上的积分时，颇有些东西含混不清。这个时候我已经读书读出经验了，凭直觉感到不是我的理解力有问题，而是书确实有没讲清楚的地方。当然，Spivak 是一个聪明人，他书里的很多习题出得很有意思，值得一做，所以我还是把他书上的习题做了大部分。

我的数学分析学习之路在多年以后终于有了一个完美的结局。出国以后我找到了麻省理工学院的 James Munkres 教授所著《Analysis on Manifolds》这本书。仔细研读一遍之后，又把书后半部分（第五章至第八章）的习题都做了一个七七八八，才确实感到已经把数学分析的方方面面都学清楚了，并与现代流形上的分析理论有了一个很好的衔接。

回过头来，如果有才入校的大学生问我用什么教材学习数学分析的话，我会推荐张筑生先生的《数学分析新讲》以及林源渠、方企勤的配套解题指南，然后建议这位同学接着读 Munkres 的《Analysis on Manifolds》（习题全做）。如果他还有精力，再去读《吉米多维奇》也不迟。

我想解释一下这种读法的思路。中国现在科学教育的一个弊端，是把科学放到了一个“术”的层次上来讲解，也就是作为一种聪明人才能玩的“奇技淫巧”，把科学看作一个个 trick 的集合，似乎那些科学问题的解决方案，都是聪明人凭空想出来的。这种“得其形而不得其神”的做法，具体就体现在大学高等数学的教学，例如数学物理方法的教学，满足于各种解题方法和技巧的罗列，而忽视用一些基本的数学思想加以简化统一的重要性。又比如中国现在流行的奥赛培训，就是集中向学生灌输一些技巧，学生只需要把这些技巧学会、用熟，就能在奥赛里取得高分。

依此道理，《吉米多维奇》固然能帮助学生巩固知识，但是过于重视它的作用，就是只学到了老毛子做学问的皮毛。关键是要在基础已经巩固的情况下，及时地学习更为高级的理论，用更高级的理论来简化我们对技巧的理解。举一个例子作为说明。

在数学、物理和工程里，常有最优化问题需要解决。一个通常的工具是拉格朗日乘子法。问个问题，这个东东大家经常用，有谁能一口说出它的直观，并在脑子里画一个形象的图出来？大家知道我这句话是啥意思：光滑的限制条件给出一个光滑的流形；目标函数在此流形的某点上取得极值的必要条件是目标函数的梯度向量垂直于此流形在该点的切空间。

大家可以按照我下面给出的顺序读一下拉格朗日乘子法证明的四个版本：

1.86版老教材的证明，第三册第163页。我初读时逻辑上都能理解，就是不明白证明的整体思路是什么。

2.《数学分析新讲》第二册第275页。这个证明已经很直观了，但是你还是会觉得证明很“聪明”，你无法一下子想到。读完后让你复述的话，你也不一定能一下子重复出来。

3. 我上传的资料里有一个文档，Dartmouth_lagrange_multiplier.pdf，是美国达特茅斯大学微积分课上的一个讲义。有趣的是，讲课的老师在讲义上抱怨，教材没有把问题讲清楚，所以老夫我只好自己写个证明给学生们看了。我前面所说“光滑流形”的几何直观即来自于这个版本的证明。至此，证明的几何直观已经很清楚了，需要复述时，只要将脑海中的图像转化成严格的形式语言就行了。

4. 在 Spivak所著《流行上的微积分》一书中，第122页习题5-16给出了一个更好的证明。“更好”就更好在揭示出了一种一般的思想方法：限制条件通过隐含数定理给出了一个流形，而流形局部上看都是欧氏空间，所以我们可以把限制条件看作投射，从而把问题平凡化（具体细节见我的习题解答）。

这种“流形局部是平直空间”的思想不但简化了我们看问题的方法，而且有助于把特定的技巧推广到其他问题。例如以后我会讲这个思想方法是如何用到非线性最优化问题当中的。一言以蔽之，“关系万千重”，关键是“以道统摄术”，而非迷恋于“不列方程求解鸡兔同笼问题”的低级奇技淫巧。

自我吹嘘一下，我不曾受过任何竞赛培训。但学习数学多年以后，当我拿起最有名的奥赛金牌，数学家陶哲轩的《Solving Mathematical Problems: A Personal Perspective》一书时，我毫不意外地发现大多数题目对我而言只是小菜一碟。这就是贯通大本源的好处：“君子务本，本立而道生”。这个“本”，就是唯物主义的“本”，通过理解理论的来龙去脉，通过考察原始发明者的思考，来学习这个理论最精髓的思想。

我建议理工科的大学生们好好读一读波利亚的《如何解题》和克莱因的《古今数学思想》、《高观点下的初等数学》这几本书。我上面所述的思想方法不是我的发明，而是前人早已在这几本书中阐述总结清楚了的。我还建议所有理工科的同学们都去读一读傅立叶的原著，《热的解析理论》（有中译本）。这是任何一个懂微积分的人都能读懂的，而我大学时读了之后大吃一惊：原来傅立叶积分和级数理论是这么连蒙带猜地搞出来的！

如果要用一句话总结前面邓金教授的教学心得，那就是“任何理论都必须从问题中来，到问题中去”。实际上，这也是老毛子们讲数学的基本范式：从一个重要的实际问题讲起，把这个问题彻底解决；然后揭示问题的本质，将解决方案上升为一个理论-- In the beginning, it's a trick; then the trick becomes a methodology; eventually, the methodology evolves into a theory。

钱学森说毛泽东思想唯物主义能够帮助科学研究，一般人以为是拍马屁，我却知道钱老诚不我欺。现代数学“把脚手架都拆掉”的讲法实在是害死人，凡是空对空绕圈子的讲法，我一概以“闷骚”鄙视之。

结束之前，小笔记两则。

1. 我在学校教书时曾用过美国的一本流行微积分教材，觉得甚好，现将 pdf 版本上传到前述 esnips 的帐号上了。

2. Munkres教授在他《Analysis on Manifolds》一书的前言中提到，麻省理工在数学分析的后续课程安排中，提供了两条路线，一条是接着讲流形上的微积分，一条是讲实分析的勒贝格测度理论。我以为我们的本科教育两条路线都要讲，而且流形上的微积分越早讲越好，因为物理工程类的基础教育也需要。

文件math_analysis.rar有七个文件。spivak_public.pdf 是 Spivak《流形上的微积分》的习题解答, munkres_public.pdf 是 Munkres的 《Analysis on Manifolds》的习题解答。 Dartmouth_lagrange_multiplier.pdf 是我前面说的达特茅斯大学的讲义，只有四页，专讲拉格朗日乘子法。还有 calculus_early_transcendential.pdf 是我在美国大学教书时使用的微积分教材，觉得还不错，就顺手放到网上了。另外有三个 djvu 文件分别是上述 Spivak 和 Munkres 分析教材的电子版本（特此鸣谢njpower网友），以及 Spivak 一套微分几何教材的第一卷。大家可以看看数学分析是如何与微分流形接上轨的。

此轮爆发完毕，下次发帖当在半年以后，各位围观的群众可以洗洗睡了。还有不明白汴京大学、皇宋大学的筒子们，放狗搜一下即可--那是我身边发生过的故事，不过我不是主角，只是跑龙套路过的行人甲。

• 总结河里关于学习的好文章
• 再谈“奇技淫巧”