主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou
家园 物理空间是否一定可以在数学空间里定义？ 如果是，那么这是为什么？
深入点说，我想知道的是截止目前你所介绍的方法论本身是如何验证的。
家园 你问的问题 似乎说的是 物理对象 是否总可以 用数学概念描述？
到目前为止是这样的。
如果要给一个解释，我倾向于说：研究理论性的物理时你想设法把你的概念，对象，规律等说清楚， 要做的事情包括定义（描述）好基本的东西，保证没有自相矛盾，按逻辑进行推理，寻找或创造合适的语言，等等。这基本上也是数学家搞的事情。由于数学的抽象性和逻辑性，恐怕物理上怎么怪的事情要理解或至少描述清楚它，都自然要数学化。 这情况类似于你发现一切学术都是用语言描述的， 这件事很奇怪吗？（没有语言能搞学术吗？）
至于说方法论， 大体是这样。 物理学家做两件事：研究理论（包括计算），作试验（和观测）。理论都是用数学语言描述 （正在建立的理论可能有待寻找合适数学框架）。 物理学家鼓捣理论，保证他没有内部问题 然后用数学推出一些结果和试验比对。通过了逻辑和实验的考验的话就可以接受了。就算是“验证”了 数学化的理论。
- 复 你问的问题
家园 类似么？ 语言是描述的一种方法，你也可以用数学模型、图片和实物模型来描述。这就是为什么语言不通的同行之间仍然可以实现一定程度的相互理解。
但是几何学由你的叙述来看，成了唯一方法。至少应该讲清这个数学方法于你以后描述的物理对象是严格的。这是你的责任。
- 复 类似么？
家园 我没有说几何学是理解时空的唯一方法 事实上 按某些目前的前沿理论物理的理论， 我讲的这些几何学反倒不是最基本的观点。但我的科普 讲的是 广义相对论的时空。 几何学正是广义相对论的方法。
广义相对论到目前为止经受住了很多非常精确的考验并且没有受到什么试验观测方面的挑战。
因此即使将来更基本的理论被接受了， 广义相对论的几何学方法仍是有很强适用性的。 就像在相对论和量子力学之后， 人们仍然学习经典力学和电磁场理论。
家园 关于物理和几何可不可以这样理解 现在认为对称性在物理中发挥很大的作用（对称原理），比如时间平移对称与能量守恒定律等价，空间平移对称与动量守恒等价，空间转动对称与角动量守恒等价，等等；相对论的相对性原理其实也可以看成是某种形式的对称原理；据说狄拉克还称“引入时空对称的概念是爱因斯坦对物理学的最大贡献”。
而对称在几何学中也是很重要的核心概念，根据克莱因的爱尔兰根纲领(Erlanger Programm），几何就是在某种变化群下，研究图形的不变性与不变量的学科。
由此不难理解物理学和几何学的紧密关系。爱因斯坦是捡了个便宜，有现成的黎曼几何可用。但今后如果还有大牛还用对称原理解决物理问题，引入了新的对称性，那恐怕还是要几何学的支持，但不知还能不能用现成的。
家园 大家看懂我写的（2）了吗 如果理解了，我就可以发（3）了。（3）的难度会暴增，但又是核心篇章。 我希望大家能带着清晰的思路进入（3）。
家园 几何直观地介绍广义相对论中的时空及大爆炸模型 (2.5） 几何直观地介绍广义相对论中的时空及大爆炸模型 (2.5) 闲话2
各位如果觉得 阅读 几何直观地介绍广义相对论中的时空及大爆炸模型 (2) 有问题， 最好提出来 大家讨论理解。
如果觉得没问题 最好吱一声。
这样我心里有数。这篇比较重要。如果搞不懂下面就很难了。
大家大致搞懂了，我再发下一篇。
如果觉得 阅读 几何直观地介绍广义相对论中的时空及大爆炸模型 (1) 有问题， 可以跳过 有问题的例子。
只要知道 以下几点就好0 如果流形这个名字让你很不舒服， 可姑且用“几何体”代替之。
1 平面， 三维空间， 通常所说的球面 （是2维的）都是流形的例子。 至于流形是啥，我还没讲。
2 平面， 球面 是嵌入的流形。 他们嵌入在另一流形（三维空间）里。
3 如你头脑中 只有三维空间， 那三维空间 是一个 没有嵌入其他流形的流形。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 这里的“嵌入”可能讲绕了 比如任何量子力学所用的抽象的Hilbert空间里的n维复矢量，我们知道是一定能用一个2n-1维的实超球面上的点来表示，也可理解这一2n-1维的实超球面“嵌入”了一个2n维的流形空间。这样的动作总是可以不停的往下做的。所以当你在前节提问
想象一个 不嵌入其他流形 （起码不嵌入 某个3维的欧式空间） 的二维球面可能容易把没有基本知识的人绕晕。因为原则上没有“不嵌入其他流形的n维球面”，你总可以把它嵌入一个n+1维的流形空间中。这一切本身就是抽象思考的结果。
而至于我们所生存的时空究竟是几维的(究竟是否存在“嵌入”流形)，或者说我们所生存时空究竟是啥，那就另当别论了。
changshou兄的这些科普文章待来日有空再一并读完，到时候我看能不能在里面加几把火，哈哈。
家园 我知道流形一定可以嵌入某个维数的欧氏空间 但我想让读者 在思考纯广义相对论的时空时 避免这样做。因为时空本身是不嵌入某个欧式空间的流形， 而所谓弯曲时空里的“弯曲” 指的是内蕴的Ricci曲率 与嵌入无关. 当然在讨论爱因斯坦方程初值问题时，需要嵌入的三维子流形（柯西超曲面），这在后面的篇章中我有介绍。至于当代各种量子引力框架中的模型（如膜世界等) 不在本文科普范围中。
家园 Ricci流非塌陷:使用逆向标量热方程的熵，使用路径积分 "弯曲时空里的“弯曲” 指的是内蕴的Ricci曲率 与嵌入无关"
prof 杨振宁, 陈省身, 丘成桐@ top of the science world of humanity as we know
1.
数学隐修士——格里戈里佩雷尔曼[1]
发布日期：2010年6月30日 来源： 中国数学资源网 浏览次数：81 数学编辑 247203285
文章摘要：格里戈里·佩雷尔曼（1966年6月13日出生）是一位俄罗斯数学家。他是一位Ricci流的专家，他可能证明了数学中一个重要的未解决的问题：庞加莱猜想。
"他切断了与外界的所有联系。与此同时，外部世界则对他充满了好奇，无数的媒体开始围在他家周围。
如果说这个世界上有任何人在评价佩雷尔曼的工作上具有权威，那么他应该是美国哥伦比亚大学数学教授理查德·汉密尔顿(Richard Hamilton)。汉密尔顿在数学上最著名的贡献就是发现了Ricci流，而Ricci流正是让佩雷尔曼接近顶峰的助手。"
2.Ricci流非塌陷:
"Perelman最重要的成果是他的关于Ricci流非塌陷
的结果，这在所有的维度都成立，而不仅仅是在三维情况成立。它对未来的重要
性远远超过了庞加莱猜想。对于庞加莱猜想，它是消除 cigars奇点的工具，而
我无法消除这类奇点。这个结果有两个证明，一个是使用逆向标量热方程的熵，
另外一个方法是使用路径积分。熵估计来自对共轭热方程做李-丘型微分Harnack
不等式的积分，另一个是对同样的Harnack不等式做最优李-丘路径积分。正如
Perelman在他的第一篇论文7.4 中承认的，他写道：“一个更接近的参考是[李-
丘]，他们使用“长度”与线性抛物面方程关联，这与我们的这个问题非常相
同”。
理查德·汉密尔顿回应《纽约客》关于丘成桐的文章
数学家汉密尔顿致信丘成桐的律师Howard M Cooper
亲爱的Cooper先生：
《纽约客》杂志以不公平的方式描写了丘成桐，我对此深感不安。我在此写
出我的想法，以正视听。如果这能对丘有什么帮助的话，我授权你把这封信提供
给《纽约客》杂志和公众。
20 世纪80年代早期，当我的第一篇关于正Ricci曲率的三维流形的Ricci流
的论文完成之后不久，丘立刻认识到了它的重要性。尽管我证明了他那时正在研
究的最小曲面的一个结果，他并没有表现出丝毫的嫉妒，而是成为了我的最坚定
的支持者。当时他向我指出Ricci 流可以形成neck pinch奇点，解开connected
sum decomposition，这可能导致庞加莱猜想的证明。1985年，他把我、Rick
Schoen 和Gerhard Huisken一起带到了加州大学圣地亚哥分校，我们组成了一个
非常令人兴奋而多产的几何分析研究组。Huisken当时正在研究超曲面的平均曲
率流，它非常类似于Ricci流。平均曲率流和Ricci流分别是外曲率和内曲率的最
简单的流。丘不断敦促我们研究这些抛物面方程奇点的blow-up，使用与研究类
椭圆方程的最小曲面方程类似的方法。而丘和Rick是这方面的专家。没有丘在这
个早期阶段的指导和支持，就不可能有供Perelman完成的 Ricci流的研究纲要。
在加州大学圣地亚哥分校，丘还有一些非常优秀的学生，这些学生是和他一
起从普林斯顿来的，特别是曹怀东、周培能和施皖雄。丘鼓励他们研究Ricci流，
他们都对这个领域做出了非常重要的贡献。曹怀东证明了规范Kaehler情况下的
正规化Ricci流总是存在，且收敛于零或负陈示性类。曹的结果成为了Perelman
关于Kaehler Ricci流的令人兴奋的研究的基础，Perelman证明了对于正陈示性
类，直径和标量曲率是有界的。周培能除了在其他的流方面做出了卓越的贡献外，
他还把我的关于二维球面Ricci流的工作扩展到了不同符号的曲率的情况下。施
皖雄开创了完备非紧流形的Ricci流的工作。除了许多漂亮的论证，他还证明了
Ricci流的局部导数估计。奇点的blow-up常常产生非紧的解，而关于收敛到
blow-up极限的证明总是依赖于施的导数估计。因此施的工作对于 Perelman和我
使用的所有极限论证都至关重要。
1982年，丘成桐和李伟光撰写了一篇极其重要的论文，为线性热方程提出了
一个逐点微分不等式，它可以沿曲线积分，给出经典的Harnack不等式。丘不断
敦促我研究这篇论文，根据他们的方法，我证明了Ricci流和平均曲率流的
Harnack不等式。由李-丘的研究一般化而得到Harnack不等式，构成了我所开始
研究的ancient solutions的基础，Perelman完成了它们，并把它们作为他的规
范邻域定理的一个基本工具。曹怀东证明了Kahler情况下Ricci流的 Harnack估
计，而施皖雄对Yamabe流和高斯曲率流做出了同样的证明。
但是这个故事还没有完。Perelman最重要的成果是他的关于Ricci流非塌陷
的结果，这在所有的维度都成立，而不仅仅是在三维情况成立。它对未来的重要
性远远超过了庞加莱猜想。对于庞加莱猜想，它是消除 cigars奇点的工具，而
我无法消除这类奇点。这个结果有两个证明，一个是使用逆向标量热方程的熵，
另外一个方法是使用路径积分。熵估计来自对共轭热方程做李-丘型微分Harnack
不等式的积分，另一个是对同样的Harnack不等式做最优李-丘路径积分。正如
Perelman在他的第一篇论文7.4 中承认的，他写道：“一个更接近的参考是[李-
丘]，他们使用“长度”与线性抛物面方程关联，这与我们的这个问题非常相
同”。
多年来，丘一直支持Ricci流和整个几何流领域的研究，在这个领域还有其
他重要的成果，例如最近Huisken 和Ilmanen证明了彭罗斯猜想，这是广义相对
论领域的一个非常重要的结果。除了丘成桐，我无法想象还有其他任何著名的数
学权威会对我们的研究领域给予密切的支持。
丘成桐建立的是一群天才的群体，而不是一个权力帝国。人们被他的精力、
他的超群思想以及他对一流数学的不懈支持所吸引。丘成桐把他们集合在一起，
共同研究最困难的问题。在过去的许多年中，丘和我花了无数时间一起研究
Ricci流和其他问题，常常工作到深夜。从观察到neck pinch奇点问题开始，他
总是慷慨地与我分享他的建议，但是从未要求分享荣誉。
事实上，当去年冬天我最终努力证明了Ricci流的一个局部型Harnack不等式
的时候——我们一起研究这个问题已经很多年了——我说我应该把他的名字加在
论文上，他谦虚地拒绝了。（《纽约客》）这样严重地歪曲他的人格，这真是不
幸。据我所知，他从未提出关于（解决庞加莱猜想的功劳的）百分比，他也没说
过Perelman应该与我之外的其他人分享（解决）庞加莱猜想的荣誉。这是合情合
理的，因为事实上除了Perelman本人，没有任何人比他更加慷慨地归功于我的工
作。丘成桐根本没有偷窃Perelman的成果，正相反，他赞扬了Perelman的工作，
并与我一起支持Perelman获得菲尔茨奖。Perelman借助Ricci流的研究纲要获得
了菲尔茨奖，而事实上，丘成桐正是建立这一纲要的人。
谨启
Richard S Hamilton
哥伦比亚大学数学教授
家园 "时空本身是不嵌入某个欧式空间的流形" 1. 愛因斯坦的廣義相對論=the highest IQ of humanity as of today
"时空本身是不嵌入某个欧式空间的流形"
that is the beauty of 愛因斯坦的廣義相對論
"爱因斯坦场方程的解是个场" , very often it is in a "local (or 特定)" 时空 situation such as 史瓦西时空, but most of time, when we really jump out of "local" into real 时空, our model can't figure out any 解 for 爱因斯坦场方程, with one of reasons as you said, "real"时空 cannot be 嵌入某个欧式空间的流形
2. witten1's comment is right as a physicist
because all the known physics model's have assumptions about model's "local" 时空, and we don't really have a "global" model anyway, and by the way, all the "global model" are basically "art"/philosophy, religion, "隱參數" based social science model, etc
2.1
"局部范围等效原理：引力=局部惯性系加速，and if you want to be more "robust", 狭义相对论 Poincare group always works, and other than that, most of the time newton/classical physics is good enough (we can explain 引力 as 局部惯性系(伽利略慣性系)加速) ", or locally, 引力 has "same" impact on all of us
2.2 actual physics modeling
廣義相對論 in a way is also 一個
局域的理論, 等效原理,
"量子力学第一性原理 )、“绝热近似”(由于原子核质量比电子大得多，而把原子核当成静止的点处理)和“轨道近似”(用一个独立函数来描述一个独立电子的运动"
here we can argue that 原子核 as a background /时空
for 电子=欧式空间, relative to all those moving 电子 around原子核: 原子核's impact on 电子 are too small/slow/same to all the 电子, or 原子核's impact on 电子="平直" to all 电子, and therefore we can further assume that 电子的运动=独立电子的运动, "no full interaction evil" in the model, model is safe.
by the same logic, we also have QFT's 电子穿衣服 model, with 重整化（Renormalization） as 量子场论中解决紫外发散的一种方法, originally "copied" from 朗道(did he say only 愛因斯坦 is "above: him in physics?) 元激發 model, and "leveraged" all the way to standard model.
by the same logic, we deal with "heat bath" using almost the same trick, so we have 正则系综, etc
3. the most important and fundamentally
there is no 欧式空间的流形 for gr's 时空, or in more GR-fitting 洛伦兹流形, we don't have 解 for 爱因斯坦场方程 anyway, most of time
so most of time we live and work in a 爱因斯坦场 where we don't have a clue about what kind of 场 that is, living in the dark, particularly socially
and partially because of that, our brain 熱消耗 everyday, 下意识trying to figure out "where we are", wasting a lot of energy
4 still, we have to model GR
廣義相對論基本上有一個無窮大的規範對
稱(gauge symmetry)，
http://phy.ntnu.edu.tw/~linfengli/articles/holography.pdf
周光召:共形场引力场没有质量，应考虑无质量场最大的时空对称群
kind of
"pure" gr 引力/时空=full interaction evil
and to gauge it:
we have 最大的时空对称群 "front running" everybody and every where, trying to figure out "隱參數/隱logic" before everybody else
5. SR, GR's "limitations" to social 爱因斯坦场
human being as a 靈性 animal, when there is a significant change in 时空, not everybody gets 靈性 and can figure out the change in 时空, our society in general is not a 某个欧式空间的流形
so, when Ricci曲率 "pops", not everybody can put on 衣服 to deal with change in 时空, and actually most of us are always out there naked, with a lot of risk exposure, and without putting on "宇航服" , we 太空失重, and eventually becoming part of 太空
good writings, thanks
and I hope witten1, you and others can comment on Verlinde's 全息屏 model, which I have made a lot of "wild" comments in my past posts
家园 嵌入用在这里没搞懂。