主题：【原创】【讨论】趣味数学 之 三门问题 -- 孟词宗
家园 所以说概率是概率，统计是统计 很多人都是在一本书里学的，所以经常把两者搞混。
#1：当我们说某个概率是1/2， 1/3， 2/3 的时候，基于的是假设、定义和推理，这个是概率论的内容。概率里面的“试验”是有严格定义的，是一种思维试验，而不是真的试验；同理“事件”也不是真的发生的事件，而是“试验”的结果或者结果的组合。就拿“抛一枚均匀硬币正反面的概率各为1/2”句话来说，它包括：
1. 试验：抛一枚均匀硬币。且这个试验可重复。
2. 试验（可能的）结果：正面、反面。
3. 假设：根据不充分推理原则，“试验的结果”出现的概率相等，各为1/2。
4. 在这个基础上，运用概率的性质，可以得出一系列的结论，比如上面的2/3。
以上都是在数学的领域，可以认为是纯思辨的。
#2 统计研究的是样本的规律，以及用样本来推测总体的性质。这时候才会设计到真实的“试验”，但这时侯经常要加上“样本”二字，比如样本空间，样本事件等。这时侯通常的任务是对前面的假设进行检验。比如一枚“硬币投了8000次，正面为5000次”这样一个样本，推测前面硬币两面各为1/2也就是均匀是否”正确“。但这里”正确“是有也不是通常意义上的意思，更严格的说法是”接受/不接受“。也就是说”假设“无所谓正确不正确，只有接受/不接受这个”假设“。
这里还有一点就是概率里的试验是理想试验，实际试验理论上是不可能重复出来的，比如你用的硬币不能代表所有的硬币，即使某个结果表明不能接受假设，也不能说明假设是错误的，只是不适用于这个硬币而已，其他的硬币可能还是很好地符合这个假设。实际试验越接近理想试验，越能说明”假设“在普遍意义是否”正确“。而古典概型的原理恰恰是经过很多检验证明在很多情况下是基本”正确“的，包括扔硬币，也就是说根据原理得到的”均匀硬币两面概率各1/2“是基本”正确“的，真是实验出了问题只能是这个硬币本身出了问题。不符合”均匀“这个条件，所以不能再用古典概型。
关键词(Tags): #2，家园 借这个贴向铁手提个建议 能不能搞几套逻辑或者数学题，在河里搞个在线考试，发帖数量跟分数挂钩，分数高的，每天发帖的数量可以多一些，否则就少一点。不参加考试的一样可以发帖，但数量更少。
这样大概可以提高帖子的质量吧。
家园 一个集合中的几率分布并不是天然平均的 你举的例子
比如，投10000次硬币，每一次正反的概率是1/2，10000次统计下来，正反也接近1/2。但是如果投了8000次，正面为5000次，这个时候剩下的2000次就出现了问题。如果每次是独立事件，那么结果应该是1000/1000。但如果考虑这2000次归属于10000次的统计结果，它就应该是0/2000。这里，如果投了8000次，正面为5000次，则有两种可能：
1. 硬币因受到某种影响(比如质量不均匀、有多余的外力作用，等等）几率不再是平均分布。
2. 你碰到了局部几率分布不匀。也就是说正面朝上的几率集中在头8000次里。这种情况在投掷次数少的时候很容易出现。例如只投掷10次，10次都可能朝上。也就是说，10000次投掷次数还不够多。
为什么新玩家的胜率和老玩家不同，可看楼下的解释：
家园 换个思路，就好理解了 三扇门中，没选的两个门几率为三分之二，主持人排除掉一个错误答案，换门也即相当于同时选择了剩余的两扇门。胜率变成了三分之二。
上面应该没解释清楚。现在打个比方，三扇门，只有一个正确答案。你先选一个，我选剩下的两个。那当然就是我的胜率比你大一倍。现在我去掉一个错误的后把剩下那扇门交给你，其实是相当于，我的三分之二的胜率，全部转移给你了。你现在是三分之二的胜率，而不是两个未知的选一个的二分之一的胜率。
家园 这个只解释了原题，没有解释附加题 附加题问的是：
现在我们把玩法稍微改变一下。当玩家选定一扇门，主持人打开一扇有山羊的门后，主持人没有让玩家选择是否换门，而是让等在后台，完全没有看到和听到全过程的另一位玩家出来从剩下未开的两扇门中任选一扇门。这次选择的结果如何？
答案是新玩家的胜率是二分之一。
那么，这里的悖论是，新玩家在两扇门里二选一，而老玩家选择是否换门也是在两扇门里二选一。为什么他们的胜率会不一样？
家园 老玩家其实不是二选一 老玩家选择是否换门和通常所说的二选一其实不是一回事，用数学的语言说，假设剩下的两个门是A和B，那新玩家二选一是指P(A)=P(B)=1/2。而老玩家已经没有这个机会了，他在之前已经选择P(A)=P(B)=P(C)=1/3，这个概率也不会变。他在第二步里选换还是不换其实是在P(A|H)和P(B|H)里选，H就是主持人在C里拿出一只山羊这个事件。所以严格来说不是”二选一“，对他来说，因为H的存在，单纯的A，B已经不可能再让他选了。除非像洗牌那样，把他眼睛蒙上，然后对调A，B若干次，强行把H这个条件去掉，这样他就和新玩家一样了，可以”二选一“。
家园 新玩家没有之前的信息 按照古典概型的”不充分理由原则（Insufficient Reason Principle）“，也即：“未知的概率都是等概率”，新玩家第一次选择每个门的概率相等，都是1/2。
对老玩家，第一次选择每个都是1/3，主持人排除掉一个后，第一次选择的门还是1/3（这点也就是关键），最后那个当然是1-1/3=2/3。
这个其实体现了概率的主观性，对主持人来说，每个门的概率都是确定的0或1，玩家的选择对他/她来说也没有影响。
家园 这里没有主观性什么事 这个其实体现了概率的主观性，对主持人来说，每个门的概率都是确定的0或1，玩家的选择对他/她来说也没有影响。其实这里体现的是老玩家“换门”不等价于新玩家“选门”。这里用直观的图解比较容易解释：
这里假设 A、B、C 三扇门中，C 代表被打开的有羊的门。老玩家选择了 A 门，A 的胜率是 1/3。所以如果换到 B，胜率上升为 2/3 （这个图只是近似表达）。而新玩家可以选 A 或 B。所以从上面的分布可以很容易看出，新玩家的选择并不等同于老玩家的选择。所以新玩家的胜率是1/2。
上面的图只是示意图，并不严谨。如果用数学来表示，则证明如下：
1. 不论是老玩家还是新玩家，他们都是在两扇门中二选一。
2. 老玩家由于预先选定了一扇门，不是随机再在两扇门中重选，所以其预先选定的这扇门的胜率为1/3。换门则为2/3。即两扇门本身的胜率不是平均的。
3. 对于新玩家来说，随机选择两扇门的概率是各50%。所以新玩家的胜率是 各门胜率乘以选择概率之和，即1/3x1/2+2/3x1/2 = 1/6+2/6 = 3/6 = 1/2。
所以新玩家的胜率是1/2。同样的，如果主持人不是要求老玩家只能换门或不换门，而是让他闭着眼睛在两扇门中随机挑一扇，则其胜率也是1/2。
通宝推：任爱杰,家园 你还没解释主持人啊 不同的人对同一个门的概率认知不同，这不是主观是什么？
还有你的第三条完全没意义1/3x1/2+2/3x1/2 =（1/3+2/3）x1/2=1/2。两个门概率加在一起必然等于1，1/3+2/3或者1/2+1/2或者1/10+9/10都一样，真正起作用的有且只有后面那个1/2，也就是新玩家的主观概率。
还有如果“两扇门本身的胜率不是平均的”，那么“闭着眼睛在两扇门中随机挑一扇，则其胜率也是1/2”是矛盾的：如果概率是属于门本身的，那么闭着眼睛选也不会让其发生变化成为1/2；如果其胜率成了1/2，那也是因为闭着眼睛无法分辨两个门，所以才成了1/2，这又是主观性在起作用。
家园 你的主观性把自己绕进去了 为了方便讨论，老玩家选择的门标识为A，主持人打开的门标识为C，剩下一扇门为B。大家都同意老玩家保持A的中奖几率是1/3，换B的中奖概率是2/3。
新玩家上来，如果他选择A，中奖的概率是多少？如果他选择B, 中奖的概率又是多少？
楼主的附加题问的是新玩家中奖概率是多少，答案是1/2。这是基于以下假设: 新玩家之前没有参与游戏，不知道A和B的区别，只能在A(1/3)和B(2/3)中随机选取，所以中奖的概率只有1/2. 如果这位新玩家发挥做题家的绝技，一律选A，或一律选B，1/2的中奖率就不成立了。
概率是不确定性的度量，观测者的行为如果不干涉系统的不确定性，概率分布不会变化。说主观性是似是而非了。
家园 即使”一律选A，或一律选B“也是1/2 概率A和B对他的概率都是1/2。
考试的时候，如果题目的分布是均匀的且题目足够多，那么一律选A/B/C/D最终的得分都是（几乎）一样的。
我之前说过，”有主观性“不代表”每个主观概率都是正确的“，还要看”假设和推理“是否合理。不知道你究竟是觉得假设不合理还是推理不合理。