淘客熙熙

主题:【原创】千奇百怪话分形 -- 安德的游戏

共:💬55 🌺136
分页树展主题 · 全看首页 上页
/ 4
下页 末页
    • 家园 花--〉宝

      恭喜:意外获得【西西河通宝】一枚

      谢谢:作者意外获得【西西河通宝】一枚

      鲜花已经成功送出

    • 家园 【原创】千奇百怪话分形——曼德尔布诺特集(中)

      曼德尔布诺特集是一个分形图形,也就是说它也有分形图形的特征:无限精细结构和自相似。首先说自相似,在曼德尔布诺特集中,有几个经典的形状是在各个尺度上重复出现的,比如说象这个海马尾巴一样的东西

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      在这张图里,你就可以找到很多

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      再比如说长了好多刺的球

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      还有美丽的花朵

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      另外,最经典的,就是曼德尔布诺特集本身。给几个不同尺度不同位置上重复出现的小曼德尔布诺特集:

      这个是荆棘丛中的

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      这个是荆棘枝条上的

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      花心里面的

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      再给一张跟螺旋结构和花朵一起的合影

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      应该说,分形对于普通大众来说最吸引人的就是这些美丽的图案了。只用计算机进行简单的迭代,就可以绘出如此丰富多彩的图形,这才是分形的魅力所在。

      关键词(Tags): #分形#曼德尔布诺特集元宝推荐:爱莲,

      本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)
    • 家园 【原创】分形Bonus图片欣赏

      终于尝试出来还比较满意的配色方案,贴几张我觉得好看的:

      这个是著名的海马尾巴

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      放大很多倍以后的袖珍曼德尔布诺特集

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      五彩缤纷

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      小旋风

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      关键词(Tags): #分形#曼德尔布诺特集#图片
    • 家园 【原创】千奇百怪话分形——曼德尔布诺特集(上)

      已经说了关于分形的这么多内容,我们要归纳一下分形的特点:

      1. 分形有无限精细的结构。也就是说,无论我们把分形的图形放大任意多倍,还是有比当前尺度更小的细节存在。

      2. 分形很难用传统的几何语言描述。举个例子,二次曲线和圆都可以用平面坐标的方程来描述,但是科赫曲线就没有办法找出相对应的方程式。

      3. 分形有精确或近似的自相似形式。这个特性之前已经讲过了。

      4. 分形的维数大于其拓扑维数。这个实际上是分形的定义。

      5. 分形通常可以由简单的方式生成,比如说迭代。

      现在,我们进入了分形的重头戏——曼德尔布诺特集。从名字上我们就可以看出它在分形中的重要地位:它是以分形之父曼德尔布诺特的名字命名的。

      其实曼德尔布诺特集并不是曼德尔布诺特首先发现的,只不过他最开始比较有系统地对这个图形进行研究而已。我们先给出一张曼德尔布诺特集的全景照:

      需要说明的是,这里有关曼德尔布诺特集的图片都是我自己写程序生成的,不过我总是调配不好颜色。不过好在需要涂颜色的部分都是曼德尔布诺特集的周边,曼德尔布诺特集本身习惯上是表示成黑色的。所以虽然颜色会有些怪,而且不够好看,但是对于讲解来说是够了。

      我们把曼德尔布诺特集生成的方法放在最后面讲,先看看它的一些有趣的特性吧。

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      曼德尔布诺特集从整体上看,是由不规则的一大一小两个圆和周围的一些复杂结构构成的。严格地说,左侧小一点的图形的确是一个接近圆的东西(如果不考虑周围的毛刺的话),而右侧的大一点的图形应该叫做心脏线,因为看起来有点像一个躺下来的心形图案。如果你有两个大小相等的圆,其中一个不动,而另一个紧贴着不动的圆无滑动地旋转(就象两个齿轮),那么外侧的圆圆周上的一点就会画出一个心脏线的轨迹。

      接下来,我们要看周围的那些“毛刺”了。首先为了方便起见,我们加一些数字标记。大的心形图案标记为1,小一点的圆形标记为2。先从最大的心形图案看起。最显眼的就是上下两个长“触角”的圆了。把它们标记为3。我们从上面这个圆往右边数,次大的标记为4,在往右数次大的依次标记为5,6,7等等。就像下面这样:

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      标记完了有什么用处呢?现在我们把3和4放大看看:

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      有趣,3上顶着一个三叉的触角,4上顶着一个四叉的触角。那么5,6和7是不是也一样呢?我们再把那里放大一下。这个是5

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      这个是6和7

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      看起来触角依次增多,到后来会很多很多。现在我们看一个二十四个触角的图

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      颜色上看起来比较杂乱,不过还是很象文章最开头贴过的一张

      点看全图

      现在从标记为3的圆向左数,触角数目依次为5个,7个和9个,变成以二递增。

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      再单独看看标记为3的圆,周围又有一圈更小的圆围绕着,我们把它放大一些,再数数这些小圆的触角,奇怪的是,它们不增多,统一都是3个。

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      同样,五个触角的圆周围的小圆触角也都是5个,不过都已经卷成花儿了。

      点看全图

      外链图片需谨慎,可能会被源头改

      你问我说了半天触角,要这些触角有什么用?这个……拿回家做菜吧。我们又不研究数学,看这些图不就是看个热闹么。其他的热闹咱们以后再说。

      关键词(Tags): #曼德尔布诺特集#分形元宝推荐:爱莲,
    • 家园 【原创】千奇百怪话分形——无穷小和无穷大

      前面说了分形的维数计算。这样计算出来的分形的维数,一般都是一个小数而不是整数。于是,这样的分形图形就会在它下方的维度上呈现出无穷大的特征,而在其上方的维度上呈现出无穷小的特征。(多说一句,因为我们讨论的分形几何特征,比如面积,体积等没有负数,所以这里无穷小是指得无限趋近于零)

      我们以科赫曲线作为例子。科赫曲线的维数是1.26。显然,一条没有宽度的线是没有面积的,所以在二维的度量上,科赫曲线没有面积。但是长度呢?我们假设以原来初始线段的长度为1,那经过第一次变换以后,我们得到的折线长度是4/3。经过第二次变换以后,每一小段的长度都变成原来的4/3,所以总长度是4/3x4/3=16/9。以此类推,经过n次变换以后,长度就变成了(4/3)^n。那么经过无穷多次变换,科赫曲线的总长度就是lim n→∞(4/3)^n=∞。(这个数学公式的功能还是很重要的,怎么打得就这么别扭呢)。所以,我们知道了,科赫曲线的长度是无穷的。

      回到曼德尔布诺特的论文《英国的海岸线有多长》,他在论文里面就提出了这样一个观点,海岸线的长度,跟你用一把什么样的尺子去量是有关系的。量的时候,总是把海岸线近似成折线,以折线段的长度和来作为海岸线的总长度。如果用更短的折线段来近似,那么对于海岸线形状的逼近就越好,而这样量出来的长度也就越长。海岸线的形状是一个分形图形,如果量长度的这把尺子长度趋近于零,或者说用来逼近的折线的长度趋近于零,那么得到的海岸线的总长度是趋近于无穷大的。

      所以我们总是在报刊书籍里面看到,说我国拥有漫长的海岸线,海岸线的长度有多少多少公里。这样的说法,既对又不对。因为从一方面来说,按照分形的观点,我们知道海岸线的总长度是趋向于无穷的。但是从另一方面说,我们可以认为这里给出的长度,是用一把特定长度的尺子量出来的,而结果就是一个有限值。用同一把尺子,去量中国的海岸线和去量英国的海岸线,中国的就要比英国的长。

      那有人问,如果用在一公里的尺度上量出来中国的海岸线长度是英国的2.3倍(我只是随便给一个比方,真正的数字肯定不是这个),那么在一百米的尺度上量出来的倍数也是个吗?十米的尺度呢?要回答这个问题,就要看中国海岸线的分形维数和英国的是不是一样。维数越高,在减小同样的尺度测量的时候,长度增长越快。

      好啦,我们再来看一个有趣的例子:谢尔宾斯基海绵。前面已经讲了如何构造谢尔宾斯基海绵。从三维的角度来说,谢尔宾斯基海绵的体积是多少呢?同样的计算方法。第一次变换,我们从二十七个小正方体里面去掉了七个,体积变成原来的20/27。第二次变换,剩下的每一个小立方体的体积又变成原来的20/27,所以经过n次变换,总体积就是原来的(20/27)^n,经过无穷次变换的最终体积就是lim n→∞(20/27)^n=0。现在题目来了:如何计算谢尔宾斯基海绵经过n次变换以后的总面积?无穷次变换以后的结论已经有了,就是无穷大。好了,现在我们得到了一个怪东西,它的体积没有,也就是说不管是什么材料做的,都没有重量,但是看起来泡泡的一大块。而且有无穷大的表面积。这个东西,它比活性炭还好呀,在冰箱里放一块除味的效果一定很好。不过这个东西既然体积是零,似乎考虑是什么材料做的也没有什么意义了。说到这里,我忽然想到,所谓的皇帝的新衣,用的材料大概多半是谢尔宾斯基地毯吧?

      关键词(Tags): #分形元宝推荐:爱莲,
      • 家园 关于海岸线的说法根本就是佯谬

        就跟那个著名的兔子追乌龟的佯谬一样:当兔子追到乌龟所在点的时候,乌龟总是要往前迈一步;无论这一步多小,兔子永远落后乌龟一步...

        • 家园 不是佯谬

          因为并非所有数列都有极限的。

          海岸线长度用一列递减尺度去量, 得到的长度数列趋无穷大。 无极限。

          乌龟前进距离之和构成的数列有极限。

          • 家园 怎么不是佯谬

            这个佯谬的关键在于故意混淆用直线逼近曲线的无穷性... 如果某国家有段海岸线是绝对直线,那么你说这个海岸线到底长度是多少?

            如果你有一根长线,沿海岸线最北端布下 -- 海岸线再长,这根线总能布到南头吧?照你这说法,这根线抻直了就是无穷长?

            • 家园 不要想当然

              如果你有一根长线,沿海岸线最北端布下 -- 海岸线再长,这根线总能布到南头吧?

              何以见得?你的推理相当于:

              (海岸线长度是有限的,所以)一根足够长的线能够布到南头,所以海岸线长度是有限的。

              如果你的线是理想的,直径为零,那么你这个论断显然是不对的,很容易举出一大堆有界的,但是长度为无穷大的曲线。

              如果你的线是直径不为零,那么它就照顾不到尺度小于或远小于这个直径的细节,你只能说在这个尺度上量得海岸线长度是一个有限的数。

              事实上海岸线也只不过是分形的一个直观印象,毕竟不是分形,海岸线只有在一定尺度下才有意义。

              如果不断放大直到看到一堆原子,你说这个时候海岸线该怎么定义?

              甚至早在到达原子尺度之前都有问题,海岸线定义应该是水陆分界线,但是即使取个瞬间状态,一切运动停止,微观来看也不可能存在严格的界限,总是有一个过渡区。

分页树展主题 · 全看首页 上页
/ 4
下页 末页


有趣有益,互惠互利;开阔视野,博采众长。
虚拟的网络,真实的人。天南地北客,相逢皆朋友

Copyright © cchere 西西河