主题：【原创】千奇百怪话分形 -- 安德的游戏

曼德尔布诺特集是一个分形图形，也就是说它也有分形图形的特征：无限精细结构和自相似。首先说自相似，在曼德尔布诺特集中，有几个经典的形状是在各个尺度上重复出现的，比如说象这个海马尾巴一样的东西

在这张图里，你就可以找到很多

再比如说长了好多刺的球

还有美丽的花朵

另外，最经典的，就是曼德尔布诺特集本身。给几个不同尺度不同位置上重复出现的小曼德尔布诺特集：

这个是荆棘丛中的

这个是荆棘枝条上的

花心里面的

再给一张跟螺旋结构和花朵一起的合影

应该说，分形对于普通大众来说最吸引人的就是这些美丽的图案了。只用计算机进行简单的迭代，就可以绘出如此丰富多彩的图形，这才是分形的魅力所在。

• 详细解题过程

已经说了关于分形的这么多内容，我们要归纳一下分形的特点：

1. 分形有无限精细的结构。也就是说，无论我们把分形的图形放大任意多倍，还是有比当前尺度更小的细节存在。

2. 分形很难用传统的几何语言描述。举个例子，二次曲线和圆都可以用平面坐标的方程来描述，但是科赫曲线就没有办法找出相对应的方程式。

3. 分形有精确或近似的自相似形式。这个特性之前已经讲过了。

4. 分形的维数大于其拓扑维数。这个实际上是分形的定义。

5. 分形通常可以由简单的方式生成，比如说迭代。

现在，我们进入了分形的重头戏——曼德尔布诺特集。从名字上我们就可以看出它在分形中的重要地位：它是以分形之父曼德尔布诺特的名字命名的。

其实曼德尔布诺特集并不是曼德尔布诺特首先发现的，只不过他最开始比较有系统地对这个图形进行研究而已。我们先给出一张曼德尔布诺特集的全景照：

需要说明的是，这里有关曼德尔布诺特集的图片都是我自己写程序生成的，不过我总是调配不好颜色。不过好在需要涂颜色的部分都是曼德尔布诺特集的周边，曼德尔布诺特集本身习惯上是表示成黑色的。所以虽然颜色会有些怪，而且不够好看，但是对于讲解来说是够了。

我们把曼德尔布诺特集生成的方法放在最后面讲，先看看它的一些有趣的特性吧。

曼德尔布诺特集从整体上看，是由不规则的一大一小两个圆和周围的一些复杂结构构成的。严格地说，左侧小一点的图形的确是一个接近圆的东西（如果不考虑周围的毛刺的话），而右侧的大一点的图形应该叫做心脏线，因为看起来有点像一个躺下来的心形图案。如果你有两个大小相等的圆，其中一个不动，而另一个紧贴着不动的圆无滑动地旋转（就象两个齿轮），那么外侧的圆圆周上的一点就会画出一个心脏线的轨迹。

接下来，我们要看周围的那些“毛刺”了。首先为了方便起见，我们加一些数字标记。大的心形图案标记为1，小一点的圆形标记为2。先从最大的心形图案看起。最显眼的就是上下两个长“触角”的圆了。把它们标记为3。我们从上面这个圆往右边数，次大的标记为4，在往右数次大的依次标记为5，6，7等等。就像下面这样：

标记完了有什么用处呢？现在我们把3和4放大看看：

有趣，3上顶着一个三叉的触角，4上顶着一个四叉的触角。那么5，6和7是不是也一样呢？我们再把那里放大一下。这个是5

这个是6和7

看起来触角依次增多，到后来会很多很多。现在我们看一个二十四个触角的图

颜色上看起来比较杂乱，不过还是很象文章最开头贴过的一张

现在从标记为3的圆向左数，触角数目依次为5个，7个和9个，变成以二递增。

再单独看看标记为3的圆，周围又有一圈更小的圆围绕着，我们把它放大一些，再数数这些小圆的触角，奇怪的是，它们不增多，统一都是3个。

同样，五个触角的圆周围的小圆触角也都是5个，不过都已经卷成花儿了。

你问我说了半天触角，要这些触角有什么用？这个……拿回家做菜吧。我们又不研究数学，看这些图不就是看个热闹么。其他的热闹咱们以后再说。

前面说了分形的维数计算。这样计算出来的分形的维数，一般都是一个小数而不是整数。于是，这样的分形图形就会在它下方的维度上呈现出无穷大的特征，而在其上方的维度上呈现出无穷小的特征。（多说一句，因为我们讨论的分形几何特征，比如面积，体积等没有负数，所以这里无穷小是指得无限趋近于零）

我们以科赫曲线作为例子。科赫曲线的维数是1.26。显然，一条没有宽度的线是没有面积的，所以在二维的度量上，科赫曲线没有面积。但是长度呢？我们假设以原来初始线段的长度为1，那经过第一次变换以后，我们得到的折线长度是4/3。经过第二次变换以后，每一小段的长度都变成原来的4/3，所以总长度是4/3x4/3=16/9。以此类推，经过n次变换以后，长度就变成了(4/3)^n。那么经过无穷多次变换，科赫曲线的总长度就是lim n→∞(4/3)^n=∞。（这个数学公式的功能还是很重要的，怎么打得就这么别扭呢）。所以，我们知道了，科赫曲线的长度是无穷的。

回到曼德尔布诺特的论文《英国的海岸线有多长》，他在论文里面就提出了这样一个观点，海岸线的长度，跟你用一把什么样的尺子去量是有关系的。量的时候，总是把海岸线近似成折线，以折线段的长度和来作为海岸线的总长度。如果用更短的折线段来近似，那么对于海岸线形状的逼近就越好，而这样量出来的长度也就越长。海岸线的形状是一个分形图形，如果量长度的这把尺子长度趋近于零，或者说用来逼近的折线的长度趋近于零，那么得到的海岸线的总长度是趋近于无穷大的。

所以我们总是在报刊书籍里面看到，说我国拥有漫长的海岸线，海岸线的长度有多少多少公里。这样的说法，既对又不对。因为从一方面来说，按照分形的观点，我们知道海岸线的总长度是趋向于无穷的。但是从另一方面说，我们可以认为这里给出的长度，是用一把特定长度的尺子量出来的，而结果就是一个有限值。用同一把尺子，去量中国的海岸线和去量英国的海岸线，中国的就要比英国的长。

那有人问，如果用在一公里的尺度上量出来中国的海岸线长度是英国的2.3倍（我只是随便给一个比方，真正的数字肯定不是这个），那么在一百米的尺度上量出来的倍数也是个吗？十米的尺度呢？要回答这个问题，就要看中国海岸线的分形维数和英国的是不是一样。维数越高，在减小同样的尺度测量的时候，长度增长越快。

好啦，我们再来看一个有趣的例子：谢尔宾斯基海绵。前面已经讲了如何构造谢尔宾斯基海绵。从三维的角度来说，谢尔宾斯基海绵的体积是多少呢？同样的计算方法。第一次变换，我们从二十七个小正方体里面去掉了七个，体积变成原来的20/27。第二次变换，剩下的每一个小立方体的体积又变成原来的20/27，所以经过n次变换，总体积就是原来的(20/27)^n，经过无穷次变换的最终体积就是lim n→∞(20/27)^n=0。现在题目来了：如何计算谢尔宾斯基海绵经过n次变换以后的总面积？无穷次变换以后的结论已经有了，就是无穷大。好了，现在我们得到了一个怪东西，它的体积没有，也就是说不管是什么材料做的，都没有重量，但是看起来泡泡的一大块。而且有无穷大的表面积。这个东西，它比活性炭还好呀，在冰箱里放一块除味的效果一定很好。不过这个东西既然体积是零，似乎考虑是什么材料做的也没有什么意义了。说到这里，我忽然想到，所谓的皇帝的新衣，用的材料大概多半是谢尔宾斯基地毯吧？