主题：【原创】芝诺悖论--兔子为什么永远也追不上乌龟 -- 思想的行者

芝诺认为：兔子永远也赶不上乌龟，只要兔子在乌龟的后面跑，不管兔子的速度比乌龟快多少就是无法赶上

他的理由是：

假定兔子的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在兔子的前面的10米开始两者同时起跑

那么

当兔子追上被乌龟领先的10米的时候，乌龟已经往前跑了1米了

当兔子追上被乌龟领先的1米的时候，乌龟已经往前跑了0.1米了

当兔子追上被乌龟领先的0.1米的时候，乌龟已经往前跑了0.01米了

当兔子追上被乌龟领先的0.01米的时候，乌龟又已经往前跑了0.001米了

......

这是一个可以无限持续下去的过程，所以芝诺认为兔子永远也追不上乌龟

这个悖论的逻辑扭结点何在呢？

其实说起来也很简单，芝诺把一个数或者一个过程的无限可分，与一个数或者一个过程的无限性给混淆起来了

所谓数的无限可分，1这个自然数可以被无限划分为无穷多个无穷小的数的和，但是1显然不是无限大的

换句话说，无穷多个数的和并不一定是无穷大的，这就涉及到了微积分学上的最基础的概念之一---无穷级数的收敛和发散

微积分认为，一个由无穷多个项构成的无穷级数，它的和可以是有界的数，也可能是一个无穷大的数，如果是前者，那么认为该无穷级数是收敛的，否则认为该级数是发散的，这是微积分的必学课程之一

实际上，兔子追赶乌龟的每个阶段所花费的时间就构成为一个无穷级数，而这个无穷级数是收敛的

为了方便起见，我们假定兔子的速度是美秒10米

那么，根据芝诺的叙述

追赶乌龟领先的10米，兔子花费了1秒钟

追赶乌龟领先的1米兔子花费了0.1秒钟

追赶乌龟领先的0.1米，兔子花费了0.01秒钟

追赶乌龟领先的0.01米，兔子花费了0.001秒钟

.....

可以知道兔子追赶乌龟的总时间为一个无穷级数的和

1+0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001.....

我们知道这个级数是收敛的，收敛于1+1/9,即兔子需要花费1+1/9秒的时间就能够追赶上乌龟

用微积分的级数收敛概念就可以很好的解释芝诺悖论

• 【原创】合罗化生兄，不用数学，推翻芝诺悖论
• 你太小瞧教主了，他连微分方程都会
• 芝诺悖论我已经在科经茶座里用微积分做出了解释

为什么这个级数是收敛的？

为什么无穷级数是收敛的，就可以认为他的和有界的？

有很多种办法，现在看起来很简单，但是历史上很多大数学家也曾经在上面犯过迷糊

比如有的大数学家就认为1+1-1+1-1+1-1+1-1.....=1/2

现在人们已经知道上面那个式子没有意义，是发散的，只有无穷多项的和是一个确定的有限的数，结果才是有益的，即是所谓的收敛

兔子追赶乌龟所花的时间系列相加就是收敛的

您的解释我看不一定对，实际上即便是半级半级的上，即兔子每次只追赶一半（？）那样芝诺悖论还是存在的

主要还是因为无穷级数本身是可能收敛的

不过我的意思是：并没有 半级半级的上 这种概念，要上就只能上一级，这样就可以解决那个无限接近的问题了

题外话，好比普朗克常数就是一级台阶，木有半级~

北师大版现行高中数学数列一章后，讲的是阿基里斯追乌龟。为给高中生说明，用的是等比数列求和。不过在最后提到了应用级数收敛概念，同楼主文讲的大体相同。

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