主题：说说我对“文革期间”高等教育的看法(1) -- 达雅

教材的安排，真是一门学问。

为了混学分，学过几次C++，倒是学校一个海归老师编的薄薄的一门到最后说的最清楚，不过当时学的时候真是云山雾罩

学了抽象代数返回来看线性代数就特清楚、可爱。

总比群论、数论啥的容易多了。

你看北美的老中孩子忙着各种社团活动，不就为了矫揉造作一份简历申请藤校？你说他们GPA也很高，就北美中学这种教育深度，都A+的孩子放到国内不跟非重点城乡结合部差不多？美国其实也是类似于工农兵学员的制度。

加点理论深度的话，这是一个永恒的矛盾。德与才殊重？宋代士人就常常批评科举制度，只能选拔出一堆会考试的进士，施政、品德基本不行。当时神宗问遍群臣，要求给出改革之方。从王安石、司马光、程颢一路下来，除了苏轼想维持现状（因为他擅长诗赋）之外，都觉得要长期培养、长期观察，才能选拔人才。这可是那个时候保守改革两派唯一的共识啊！这说的简单，做起来就难了。后来南宋书院兴起也是理学家不满意考试制度，才要办私校。明初朱元璋也不重视科举，更重视学校。

文革的政策其实是从当年王安石变法、朱元璋兴学一路下来的。具体结果也是见仁见智。（文革农村的教育大发展更是值得一书再书！）但是无论如何，那些以为高考考分高就绝对是人才、绝对会对社会有更大贡献的讲法非常可笑且幼稚。

我们当年痛苦就痛苦在先讲代数结构。刚从高中数学出来的孩子，没有适应高等数学的思路，直接面对一堆群、环、域的概念，没有不懵的。当然把那堆概念搞明白后，再讲矩阵概念就容易多了。可惜我是把线代学完后返回头来再看第一章才搞明白代数结构是什么东西。

毕竟那么一大堆东西，还都要讲。

我没学那么深，但也是先被填鸭了几乎一个学期，最后跟老师讨论问题的时候被他串了一下。当时有种恍然大悟的感觉。

可能就好比，先闷头爬山，到了山顶看山下风光的那种感觉。

行空间与列空间同维 不是因为二者都等于 象空间的维数。

如果将向量表为列向量， 则象空间的维数等于列空间的维数。

如果将向量表为行向量， 则象空间的维数等于行空间的维数。

但是以上两段话不意味着行空间与列空间同维。因为在给定矩阵后，如用两个不同的对矩阵的解释（矩阵乘列向量 或者 行向量乘矩阵）则我们有不同的两个映射 从而有两个不同的象空间。

矩阵A代表一个 在两个线性空间W和V之间的 线性映射A。

矩阵A的列空间的维数是线性映射A的象空间的维数。

线性空间W和V 都有对偶空间（由线性空间上的线性函数构成）。

矩阵A诱导出 V的对偶空间 到 W的对偶空间 的线性映射B。B对应矩阵A的转置。所以B的列空间的维数（即B的象空间的维数）等于A的行空间的维数。

最后 有限维时 对偶空间的对偶空间是原先的线性空间。所以A的列空间维数 和B的列空间的维数 的关系 在交换AB后依然是对的。这意味着这两维数相等：即A的列空间和A的行空间同维。

这是标准的（最自然的）无需任何计算的证明。

之前另一个人的解释是错的。

达雅能说一说开始时怎么教的， 后来的讲义怎么讲的吗？

什么是你们讲的但数学系不讲的？（怎么会有这种事！）数学系大部分学生在学到学期后面时还不懂教授在讲什么吗？数学系是怎么讲的？

你说的这种情况我觉得有点蹊跷阿，我一直觉得中国一流大学本科生入学时的数学平均水平 是明显超过美国一流大学本科生入学时的数学平均水平的。如果你说的属实，那就感觉可能连美国都不如了。

会不会是你为了支持主要论点而下意识的有所夸张了？

言语有冒犯请勿怪，主要是实在有违我的经验。

同济毕业的飘过...

个人以为，可梦之网友说的还是有些道理的，可能为了给我一个尽量浅显的解示，导致行文在行家眼里不太细腻。

行列同维的一个证明路数是，矩阵A 把列空间线性映射到行空间，所以 A列维 =< A行维 （这应该是可梦之网友帖中头两句话的意思）。用你的记号，用B 表示A 的转置。同理，B列维 =< B行维。因为A，B互为转置，B列=A行，B行=A列，所以A行维 =< A列维。 结合第一个不等式， A列维 = A行维。

我之所以发贴提问，是因为对这个证明路数感觉不舒服，比如‘同理’这个词（很可能是我自己脑子有问题）。

你贴中不同的地方是引入了对偶空间的概念，也许正是我需要的。不过我对对偶空间还未透彻掌握，需要时间领会。可能以后还要讨教。再谢。

第一种讲法是怎么讲的忘记了。

但是后来我搞清楚了，该教授的讲课

方案是数学严谨性极好，但是需要学生

具有非常的悟性且花上大量的时间。