主题：【原创】负数，虚数与境界 -- 瘦形胖子
家园 【原创】负数，虚数与境界 小学生刚开始学算数减法的时候，被减数必须要大于减数，他们的差也必须是大于或者等于零。所以的，这个时候的孩子们如果见到0-1=-1的算式一定会感到迷惑不解：怎么可能比没有还少呢？直到后来了，随着他们知识的积累，视野的扩展，孩子们就渐渐的明白了，比没有更少的含义还可以是先欠着一个。
同样的事情，也不断地发生在我们身上，比如在下自己。在下是文科生，于是在下的数学知识仅止于高中的代数水平。所以的，直到现在胖子也没搞明白i2 = - 1这个所谓的虚数到底具有着什么样的含义。
在这种情况下，比如，如果有一个小学生来问胖子0-1=-1这个算式是否正确的时候，我一定会说，这个算式是正确无误的。那如果这个孩子继续深入问下去，这个算式代表着什么含义的时候，胖子就会挠头了。因为这个问题很大程度上超出了一个小学生的理解范围，所以的，在下实在找不到能给这孩子解释这样问题的有效方法。几经思考之下，也许我能给出的最好答案是：这个问题你可以先放一放，不要去考虑它。只要你把课堂上老师教给你的东西都好好学明白，总有一天，你自己就会明白这其中的含义了。
这样的情况，很大程度上就是境界差异的表现。境界，也许可以理解成不同阶段的智慧平台。学习的过程，可以是了解知识的过程，可以是积累经验的过程，但是这个过程只能发生在同一个智慧平台上，也就是发生在同一个境界上。但是，境界与境界之间的差异，则一定不能通过知识或者经验来弥补的，这样的差距是只有通过智慧的提升才能完成的。就如同古人说的，这样的情况叫做不可思议。
思，是思考，也就是逻辑的推理。议，是讨论，也就是语言的表达。所以，不可思议的含义，也就是说，境界上的差异既不可以通过思考或者猜想来理解，也不可以通过语言或者文字来说明。这个，也就是古人认为“不可妄推圣境”的原因。
在这里，在下之所以一直使用数学的过程做为例子，是因为数学本身就是逻辑学的一部分。那么在数学上遇到的困难，除了因为逻辑推理能力不足的情况之外，剩下的，大多数都是境界上的差异了。
所以，如果生活中遇到了不能理解的问题的时候，不妨先把这个问题放一放。只要自己通过正确的方法不懈的努力，总有一天自己会有豁然开朗，原来如此的感觉。这个，就是自己的境界提升了。
关键词(Tags): #愚叨，家园 复数没有几何意义 复数只是数学上进行抽象运算的操作符号。类似的还有对偶数，和有名的 i, j, k.
家园 俺对复数的解释。 一条大路，你在路上走，就是实数，走歪了掉进路边老萨挖的坑里就是复数。
家园 数学本身就是逻辑学的一部分? 楼主有些概念过度泛化了。
真正的大师，是把复杂的东西简单化，而非故弄玄虚，白居易的诗要将给老妪听。负数乃至虚数的概念，也完全可以教给孩子。
Hilbert曾经说过，哥廷根的小学生都懂得四维时空，但只有Einstein创立了相对论。好的数学不仅仅是抽象的，也是现实的。
人都是以自己已有的知识体系为基础而试图理解世界的，不同的经历和教育背景构成了楼主所说的智慧平台，但我相信不存在什么不可思议的事情，也没有什么不可妄推的圣境。
现在的一个普通工科大学生所了解的知识，都远远超过阿基米德这个古代文明的圣人，而牛顿，高斯，黎曼乃至爱因斯坦，他们中的任何一个如果没有诞生或者夭折，都可能会延缓人类文明的进程，但是，也绝不可能使之停滞。
人类文明是个整体，从局部看，其兴也忽焉，但从全局看，上升趋势是毫无疑问的。
一家之言
家园 我看到虚数最妙的解释 你站在原点上，假设前面是＋，后面是－，每步幅度是1。
向前5步，再向前2步，就是向前7步——（+5）＋（+2）＝＋7，很好，等式成立。
向后5步，再向后2步，就是向后7步——（-5）＋（-2）＝-7，很好，等式也成立。
且慢，如果向前5步，向后转，再向前2步怎么办？
很简单——（+5）＋（-1）*（+2）＝＋3——开步走是加法，转向就是乘法，-1的意思就是向后转。
两次转向，就是两次乘法——向后转＝向右转*向右转——向右转的平方就是-1，所以“向右转”就是-1的平方根，就是虚数i。
同理，向左转就是-i。
所以“i不是什么虚无缥缈的虚数，只不过是向右转而已”——我当时六年级，但是已经明白了。
家园 这就是复数的平面几何解释 实数对应直线上的点，复数对应平面上的点，要是没记错的话，这个解释应该是罗素提出来的（记得不太准确了，哪位补充一下）。
家园 无线电系的人说 要有频域变换，于是，什么恶心玩意儿都出来了。。
家园 形象的解释虚数，请参看阿西莫夫的一篇科普妙文 他说他在学院里念书时，有位教社会学的教授把数学家归类到“神秘主义者”里面去，理由是“他们相信一些根本不存在的数”。阿西莫夫忍不住问：“什么数？”回答是：“虚数。比如说－1的平方根。小伙子，请给我拿出 －1平方根支粉笔来！”
虽然阿西莫夫当时靠着狡辩也没有吃亏，但是终究没有说服人，他自己在文章里写：“现在已经20年过去了，我觉得应该结束那场争论了……”
他具体怎么解释虚数，比较长，我就不录入了。但是给出他的一个比喻：
给所谓的“虚数”赋予真正的现实和具体的意义，这是世界上最简单不过的事。只要想象一条水平的直线与一条垂直的直线相交，把交点称为零点，现在就有了四条从零点出发的射线，共同构成一个直角，就可以把这些直线与四种数字等价起来。
向右的那条直线可以标注为正实数，向左的可以标注为负实数，这样水平线就是实数轴。同理，垂直线就可以作为虚数轴。
……
复数的实际意义何在呢？许多熟悉的度量都涉及到标量，它们只有大小之分，那就只需要正或负的实数就够了。
但是还存在着既有大小又有方向的矢量，比如速度、力、加速度等，那在数学处理中就必须用到复数了。
所以“拿出－1平方根支粉笔”是不可能的，因为那只是标量，只需要使用实数就行。
但是比如说如何从课堂走到校园某处，光用标量说“走200码”肯定不行，得说“向东北走200码”，用数学表示即为“走100√2￣＋100√2￣ i 码”，与日常说法是等同的。
家园 有些还是比较好解释的 0-1=-1
可以解释为，本来没有钱，还借了别人一块花了，于是自己目前的财产就是-1
虚数等到学的时候就可以用电磁波来解释。
家园 整数的一个基于自然数的模型 对任意自然数a，b，记<a，b>={(c，d）|c，d为自然数且a+d=b+c}（就是把所有满足a+d=b+c的有序自然数对（c，d）放在一起构成一个集合，容易证明：当且仅当（c，d）属于<a，b>时<a，b>=<c，d>）），把这样的集合<a，b>称为整数，然后定义加法、减法、乘法，进而证明各种运算律。
当然也可以从给定的一系列公理出发，来证明这组公理所确定“整数”的性质。
更进一步就是证明任何满足那组公理的对象“整数”必定等价于上面构造出来的那个模型。
像这类的所谓解释不清楚是由同一个概念的不同学习层次造成的。学生理解能力有限，严格化的东西一下子端上来无法接受，或者从实际应用出发没必要弄得太严格，对大多数人来说只要掌握大致概念就可以，需要深造的可以学习后继课程。比方说幼儿园小朋友就开始学习自然数，老师或者家长怎么跟他们解释这个概念的呢？把皮亚诺公理搬出来？开玩笑。只能用形象诱导出数的概念，比如从一根铅笔，两只鸭子，三个菱角……，然后再高级点就教小朋友数是不依赖于具体代表物的，一根铅笔的“一”和一只鸭子的“一”是一样的，然后再教他们如何做加法、减法、乘法，这些运算满足什么性质：交换律、分配律等等。
如果小朋友问你：自然数到底是什么？为什么这些运算满足这些性质？你也许能给出种种解释，但也只不过是解释，让对方觉得已经明白了而已，实际上还是一团浆糊。不是因为解释者学得不够好，而是因为在原来的层次这些东西确实是含糊不清的。
家园 恩，同意您的这个说法 也就是说，同一个概念，在不同的阶段可以理解成不尽相同的含义。而产生这个现象的原因是因为接受这个概念的人的理解能力的不同。