主题：我今天特别的高兴，在孩子快十岁时 -- 给我打钱87405
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家园 小学数学的核心 在有理数领域，也就是小学数学的学习范围内，最重要的一个概念就是比（以及比值）。
可能一些人并没有意识到，比（以及比值）这个概念清晰的浮现出来意味着什么。意味着结构。
还记得吗？人类最开始是通过比较产生量的概念，又通过量的概念反身推出属性，正身发明出数。
但是在这个阶段，比较的是两个独立的事物。这个时候，并没有将两个独立的事物结合为一个整体，因为这种整体意识它是一种意识，得用“虚线”将它们框起来。
一直到比（以及比值）被明确提出来之后，事情才发生巨大的变化。
举个例子。同一项工作，工人甲需要20天完成，工人乙需要30天完成，这个时候我们就会产生两种问题：
1.工人甲、乙同时干这份工作需要多长时间？
2.工人甲干一部分，接下来工人乙完成另一部分，一共需要多长时间？
这是我们人类合作的两大基本模型，我说是，个体联合成了整体。
所以，说比（以及比值）这一概念在数学中扮演了重要角色，毫不夸张。
实际上，等待我们的还有更加复杂的问题：
一大堆分布并不均匀的个体组成了一个整体，这个整体就因此产生了一些新的属性，而我们需要有一种办法来描述这个整体。
这类问题到今天也没得到很好的解决，比如我们经常抱怨国家统计局计算的平均薪水跟我们的实际收入相差太远。
我是说，一提到结构，我们就必然需要去搞清楚，整体和个体之间的关系。
这也就是说，数学的发展和我们的生活是密切相关的。甚至不需要去进行考证，就可以知道数学是在人类合作的基础上发展出来的。
人类有了高层次的合作，才需要数学。否则 我们不需要，就像动物那样。当然，它也是一把双刃剑，掌握了一定的数学知识，就可以大摇大摆的行骗，而不会受到法律的制裁。
通宝推：李根,strain2,十亿星阵,王小棉她妈, - 复 汇报一下
家园 浅谈小学数学该怎么学 抛开现行教育框架不谈，我想谈一下小学数学该怎么学。
我接触的不少人，包括数学老师在内，许多人对小学数学不屑一顾，认为考90分就算是失败。在我来看，这是一个很大的认知误区。
我们常说，事物的发展是螺旋式上升的，这里有一个关键就是如果从一维的角度来看，一个完整的过程它一定是一个圆，学任何一个科目，至少要学一级圆，否则就算是白学，因为如果连一级圆都没有学完整，肯定不成系统的。小学数学内容，或者说有理数领域，它就是一个圆，它自己是很完整的，如果不去考虑“度量”这个根还有其它可能性的话。如果不是这样，当年那些数学家也不会宣称“一切数都是可比数”，不会认为“数学就此可以画上句号了”。站在今天，我们可能会觉得这些人实在是配不上数学家这个称号，可是要从有理数走到无理数，不是一般的难，而是非一般的难。言归正传，我比对了一下中美数学教材，我认为，这里面最大的一个问题就是并没有把有理数当成一个相对完整的系统来学习，尽管安排了长达6年的学习时间，但不论是教材的编制者，还是实际的教学执行者，都没有达成“学生能系统性的理解有理数”这一目标。要知道，进入初中之后，所学的相当一部分内容是建立在“默认学生已经吃透了有理数”的基础之上的。这也就是为什么很多学生一进入初中，数学成绩就会大幅下滑的一个重要原因。
另外要说一句，小学数学考试分数之所以“很容易”就能达到90分以上，那是因为作弊成分太大。
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家园 讨教一下，为什么不是probability， 而是chance，为什么不是ratio，而是fraction？
因为我认为chance和fraction是量这个层面的词，而probability和ratio是数这个层面的词。如果不去计算，前面那个层面足够了。举个最简单的例子，硬币扔正反面的概率各占50%，这好像是一种共识，问题是还有一种可能是硬币会立起来，所以正反面的概率并没有达到50%。
另外简略谈两个问题。
第一个问题是前面有位兄台提到的“抽象”问题，我倒不觉得从具象到抽象有多么困难，因为方法很简单，就是中国的老话，“不怕不识货，就怕货比货”；或者说，小朋友爱玩的一种游戏“找相同，找不同”，找出不同事物的相同之处就是一个抽象的过程。真正困难的是没有这样的过程，直接被告之一个概念，这个概念的内涵到底是什么孩子们并不知道或者是不完整（当然，一定是从相对不完整到完整的），比如孩子们经常听到“学习”这个词，可是什么是“学习”，恐怕并不清楚，又比如说如果不知道“素面朝天”这个成语的来历，恐怕就会用错地方。但是我们为了交流方便不可避免的创建一些词汇，所以关键就是如何把体验和这些概念性的、抽象化（与其说是抽象化不如说是符号化）的词汇有机的结合起来。
第二个问题是关于概率。概率的本质是在描述整体与部分的关系，所以首先要完成的是怎么去理解整体与部分（比如糖、水、糖水），而对于整体与部分关系的理解，甚至 可以上升到哲学和政治层面，我的意思是说，对于八、九岁的孩子来说太难了（如果没有进行过有铺垫的学习）。
家园 忘了回答probability这个词 我估计是因为这个词太专业了，对小孩来说就难了点，于是就改用chance这个词。。。。
我女儿问我为啥扔硬币是一半一半机会，我说只有两面，所以是一半一半机会。
可惜她没继续问，为啥不是一面机会多一点，另一面机会少点？如果她这么问，我就得做个试验给她看了。。。。。
家园 呵呵，再汇报一下 我也觉得对小学3年级的学生来说难了点，5月份有个全国统考，老婆紧张，我就不得不下载一些习题让小女准备一下，然后就发现了这类题目，其他类型的题，小女基本都没问题，做了几次样题，就卡在这类题目上。她的另一个问题是粗心，有些简单的题，她做太快，没仔细看，偶尔也会出错，这方面我倒不担心，假如我告诉她做错，她立马可以改正，概念还是理解的。
今天做的样题又有一道概率题，讲的是一个笔盒里不同颜色的铅笔，不同数量，问闭着眼睛拿，那种颜色的机会最大。这道题她倒是答对了。
于是我趁热打铁，改了一下题目，问她两个笔盒，一个是5支红笔，5支蓝笔，另一个10支红笔，10支蓝笔，闭着眼睛，左手右手各掏一支笔，那个拿到红笔的机会大？
她想也不想，就说是10支红笔那个盒子大，我提醒她考虑一下红笔所占的Fraction，她就恍然大悟，说一样大。
我于是再改一下题目，一个笔盒改成8支红笔，12支蓝笔，她就很顺利地说5支红笔的盒子机会大了。
搞了几天，她现在应该算是明白了。。。。
叹一句，对小孩的教育，真是缺点耐心都不行。。。。。
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家园 聊天实录 一个人，学习效率高不高，影响的因素很多，比如兴趣问题，比如会不会聚焦，很多，但这里面有一个因素，也是很受关注的是，那就是有没有学习的自信。
学习的自信是什么呢？简单的说，就是“我能不能学得会”。好比我们爬山，爬到半山腰，我们会想一个问题：我还能爬下去吗？我有能力爬到山顶吗？
那么，为什么人会怀疑自己的学习能力呢？
很简单，搞不定。
比如，昨天刚学的，今天就忘了。练了好几遍的，还是做错了。
对于初学者而言，这种不愉快的感受，会让他们开始怀疑自己的人生。
特别是在某些情况下，成人会去表扬另一位成绩优秀的孩子：你真是个天才。那么 成绩不好的孩子，他就会给自己贴个标签：我是个蠢才。
一旦失去了自信，就学不下去了。
我拿我女儿的事情来做例子。
我女儿现在是人见人夸，我是说二胡。可是她最开始学的时候，不是这样的。
头一年，比她学得好的，多了去了。老师都不大能注意到她。为什么呢？因为我去跟过课，她被安排坐在后面。
我们是从哪开始练的呢？调弦。
学二胡，一周只上一次课，其它时间都得在家自己练。第一个难题就是，调弦调不准。
老师在学校里调了，没用，因为你一走路，一磕一碰一晃，弦就松了。
我们当时就有点抓狂，这该怎么办呢？
我后来想 了个办法——不是去买台钢琴——到网上找一段视频，基本功的，推拉弓，D调，哆，嗦。我们就听，听了然后自己调。
调了再听，听了再调。自以为调准了，去老师那，老师说这是哪跟哪呢。
我又想了个办法，上课的时候录音，录下来，然后回家听，听了调，调了听，反复对。
结果还是一样。
然后我又想了个办法，下载了一个软件，这下省事多了。问题还在，还是调不准。
但是我们就一直这么练，一开始很长时间没有买调音器，全凭耳朵听。
现在是什么情况？我女儿说，老师有一次就批评她，说“你为什么不用调音器啊？”结果一拉，准的。
我讲这个是什么意思呢？
就是说，学习它一定是有困难的。
但是初学者他不知道他是可以克服这个困难的。
一遇到困难，不是逃避，就想走捷径。
其它孩子为什么学不过呢？
因为他们吃不了最开始那截苦。
其实也没多苦。这种苦，往往是心理上的。
没有自信。
我不客气的说，不少人，他自己很长时间没有正经学习过了，他已经忘了学习每个阶段的不同感受。
所以他看到孩子学习遇到困难时，往往就采取了不正确的对策，比如责骂……
任何一门新科目，一开始肯定就是一学就忘的，这是个非常自然的现象。
这个时候孩子最需要的是什么呢？
鼓励。
你怎么鼓励呢？你就跟他说，这山我爬过，门清，没问题，我没问题，你也没问题。
你当父母当老师，这个时候最关键的作用，就以一个过来人的身份，让孩子确信，没问题。
另外就是一些技术性的问题。
给初学者制订一个目标，比如背几遍就要记住 多少单词，这是一个很愚蠢的做法。
我们有一句话，叫水到渠成。
你功夫到了，自然就掌握了。每个人要下的功夫，并不完全同步，这事你不能跟别人简单比的，当然你是需要去跟别人学先进的学法的。
所以有些所谓的学习计划，是非常糟糕的，破坏力很强。
绩效考核这种做法，是一种用人的方法，不是育人的方法，那是把人当成生产机器来看待。
还有一点。
那就是当孩子完成一件事之后，你要提醒他，去体会成功，而不是像有些孩子那样，干完一件事就直呼好累。
直呼好累，就是在反复向自己强调这事好困难。这是一种负反馈，没有什么好处。
比如说，我有时候就让我女儿去看刚会走一点路的幼儿。
我就跟她说：你看，学走路是不是很难？很难，你学会没有呢？你学会了。所以有什么事可以难倒你呢？
说到这里，我也顺便讲一下，你给孩子安排的学习科目太多，他就很难取得阶段性的成果，你想鼓励他，没有实在的内容可讲。
如果你给孩子安排的科目适量，他能有一件做得不错，你就可以拿这件去鼓励他：你行，你能。
我女儿一开始，就没有自信，别的孩子什么都学，她是啥都不会。
后来呢，二胡，NO.1，她有点底气了。现在语文她觉得她也不错，也爱学。搏击，不说了，前两天在学校跟人打架了，以前她是不敢的……
小结一下
我这里讲的重点就是：万事开头难。开头的时候就是很难的，谁都一样。这个时候你当父母的不能着急的，这东西几乎没有什么特殊 技巧，就是不断的练习。贪多贪快，盲目比拼，是大忌。
我还忘了说一点：
就是小孩子学习，主动性不可能太高，这个因素就跟初期学习推进速度很慢，混合在一起，我们成人很难判断，到底是什么情况。
我后来就总结经验：不谈主观问题。直面客观问题：没掌握，没记住 ，没理解。怎么办？再来。
还有一个问题就是，刚学一个科目时，孩子他往往不知道应该关注什么，记住什么整个就都记住了。他有一个摸索的过程。这个也不能急。给予足够的时间，他就能上道。
我就那句话，长一张唐僧般的嘴，有一颗唐僧般的心。
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家园 昨晚的帖子给吞掉了！ 聊得过瘾，继续聊。
小女的问题正好相反，她是过于自信，上个月第一次做样题的时候，一边做，一边大呼小叫，这么简单！太容易了！35道选择题限时45分钟，结果她不到20分钟就交卷给我，一副得意洋洋的样子，老婆在旁边暗喜，以为家里出了个天才，结果我一检查，错了六七题。。。
之后她又很沮丧，自信被打掉了，我还得费尽口舌鼓励她，让她多做练习，教她检查验算答案，最近几次都可以全对，于是自信又回来了。
今天她又得意洋洋地自夸，班里有个电脑的速算比赛，12道题，她全班最快，21秒答完，全对，比老师还快，老师是25秒，还要错一题。我夸完之后问她，12道题是怎样的题目，她说是20以内的数字翻倍，我心里叹一句，唉。。。山中无老虎。。。。。
对于数学以及其他学科，我的终极目标是让她学会如何自学，让她学会如何解决一个从未接触过的问题，象之前的概率题，我问她刚开始时是不是有点怕，她承认，其实答案是瞎猜的，我又问她，现在感觉如何？她说，其实也很简单嘛。最后我告诉她，记住这种感觉，学习不外如此，出来工作也是如此，从不懂到懂，反复几次就习惯，现在我还可以教她，再过几年她就可以自己摸索了。
至于学琴，我的要求又不同，我绝对不要求她去考试评级，上台表演，只要求认真练，练习的时候放松，练出开心的感觉就行。主要原因是她是独女，将来难免有孤单的时候，有个乐器，应该可以帮她排解。跟她讲这番道理，她反而说，孤单有啥好怕的？找个朋友出去玩玩不就得了？
由于过于放纵，教琴的老师，本来是极严肃的，也常被小女逗笑。。。。问老师她到底学成怎样，老师说，她技巧掌握得很好，就是缺练习，新曲子不熟，等新曲子练熟了，旧曲子又不熟了。。。。
家园 小姑娘看样子性格好，情商高，你教的非常好。 弹琴好像还是肌肉记忆居多，可以考虑推一下sight reading。肌肉记忆一段时间不弹就容易忘掉。既然学琴以娱乐为主，在有了一定的技术能力之上，视奏能力的提高对享受音乐大有帮助，将来伴个奏，摸个谱都比较快。
视奏也是适合稍微推一下的东西，原理和快速阅读其实差不多，就是眼睛和脑子要走在身体的前边，和开车要抬头看路也是一个道理。
家园 谢谢夸奖 小女的学琴，最大的问题是没有那种热情，幸亏是老师教得好，所以她还有兴趣继续练，她自己也看得到进步，所以暂时还没有打退堂鼓。每天的练习，大概就是20-30分钟，她的兴趣太广泛，又要阅读，又要看Youtube, 还要抓紧时间玩两把手机游戏，时间就不够用了，老师说，她自己的女儿，每天是练两个小时的琴，如果我女儿肯花一个小时，进步会快很多。。。。。
顺便说说我的担忧吧，我觉得小女最大的问题就是太顺，没经过啥挫折，粤语来说，就是怕她不够“硬净”，虽说她的学校有教导学生要“Resilient”，但没有实际经历，终归没那么好。
这一点，楼主编号兄的闺女就强多了，值得学习。
家园 河里这样有内容的帖子少，提点个人看法算是收获之后的回馈 主要是对楼主本人的，几篇看下来你对自己的教育理论和方法非常的自信，你这个体系本身的校准仪没看到，保持对自己体系运行的警觉和纠错意识是非常重要的，毕竟产品是自己的孩子
其实有个看起来比较世俗，但又很客观的标准是，你们夫妇在现实社会中状况，包括在单位和社会交往等等，通常来讲如果是“中等”，那么楼主应该有意识经常提醒自己对世界的认识也是“中等”，还存在这大量的需提高的空间，在孩子教育中尤其是那些自己笃信但孩子不理解不执行的分歧时，不妨多问一句自己是否认识有限和偏差。当然还有一种极端情况是，认识确实很到位，可现实生活状况跟认识高度不匹配，这其实反映出另外一个严重的问题就是自身认识和自我行为能力上巨大的落差，每一个成年人都有这个问题。 身教胜于言传，父母自己做好自己的工作，搞好自己的家庭幸福工程，对孩子是最有效的教育。
接触过一些“成功”人士，几乎都观察到了他们之所以“成功”地合理性，这些人的子女教育一样做得非常好。媒体宣传上经常把这些人搞得都是暴发户智障一样，来满足大众的心里需求，现实不是这样的。
再次谢谢你的分享
通宝推：豪哥的江湖,家园 聪慧无疑，早熟也有 男孩子晚熟，到15岁向后才考虑哲学问题；而女孩子早熟，10-12岁就有可能考虑。曾看到一10岁的女孩子纸头上乱涂：我是谁？吓人一大跳。
家园 河里著名的点炮豪哥来提醒一下 你这崽要么是聪明，要么是早熟。我觉得是聪明。
聪明孩子特别容易陷入沟通交流的困惑。因为思考方法与同龄差距太大。
这是一个龙门，跳过这个表达能力的坑就是王岐山川普奥黑一样的人。跳不过去会一辈子很难受。
家园 上了大学就好了 好的高中也成。
家园 她即便有聪明，也是小聪明。我认为 真正的原因是我们学习的总路线就跟别人不一样。
她最近新学了一个科目，搏击。教练说她领悟能力高，实际上，她以前不是这样的。为什么我最近给她报了新科目呢？因为我前面一直“压”着她，不让她学过多的科目，我们只专攻一、两门。说白了，一个二胡，一个语文。她在这两个科目，积累了非常丰富而且深入的经验，二胡就不说了，乐团的“一姐”，语文她每天写作量都是300字以上，阅读量虽然不多，但都是有要求的，所以保证了质量。可以说，如今有了浅层次的“通”。正因为如此，我认为时机成熟了，就增加科目，目前来看，效果不错。数学和英语一直都是打酱油状态。
家园 女孩子要学舞蹈 绝对增加颜值。这个你要相信我。家里两头猪，大的已经上大学了。女孩子不好看什么都会吃亏。
补习班分两种，一种是刚需，有些班老师直接要你上，没还价余地。
另一种是提高。大部分提高都是乱来。
我教育的重点之一是成熟。要求能看穿别人的肚肠，知道规则是这样运行的。不要当时候来问我为什么世界是这个样子的。