淘客熙熙

主题:【原创】勾股定理(十)--- 坐标(续) -- 我爱莫扎特

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家园 还是有区别的

分段函数的不可微的点只有可列个,而我说的是“处处”不连续,差别相当的大。

事实上很久以来人们根本不相信存在这类函数,考虑函数的时候都是自动考虑分段光滑函数,当然人们也知道存在“坏函数”,就是Dirichlet函数这种干脆处处不连续的函数。换言之,人们一直认为连续性和可微性是相伴随的。

直到德国大师维尔斯特拉斯(Weierstrass)找到一个反例。这在数学史上是非常重要的事件,打个不恰当的比喻,有点像杨李发现宇称不守恒。一下子改变人们的观念。

维大师和法国的柯西大师的一系列工作将微积分的面貌完全改写,变成清晰,严格,才使得今天普通大学生都能理解学习微积分。

家园 谢谢额,你要是不讲一下,偶也根本不相信
家园 能不能讲一讲这个反例?

智力驽钝,有点想不明白。

请点拨。

家园 给你几个链接

要说智力愚钝的话,牛顿之后差不多200年的数学家都要被归入此类了,呵呵。老兄可别这么说。

这个例子不那么显然,基本的思想就是我文中提到的分形:局部和整体相似,也就无法做局部线性化。

网上有复旦大学陈纪修教授的课程[URL=http://you.video.sina.com.cn/b/19124970-1566422530.html

]视频[/URL],以及课程教案。wiki上也有介绍。我就不献丑了。

补充几句,这个经典的例子让人们关注起“病态数学”,此后的勒贝格(Lebesgue)积分也是关注病态函数(如Dirichlet函数)上如何积分。从历史上说,无理数,乃至超越数,虚数,非欧几何,黎曼流形等等都曾经是“病态”的代表,但历史证明它们再正常不过。20世纪的数学有很大程度是对“病态数学”的研究,将数学的疆域拓展了不少。

家园 花一个,谢谢,我慢慢咀嚼去了。
家园 原来是通过级数搞的,聪明!

很多级数函数不连续,他加上cos使他连续来。

这个思路很棒。不是一般的牛。

很想再花一个。可惜老铁不给。

家园 应该花魏大师

窗户纸捅破后,例子就源源不断的出现了,你可以放狗搜一下,蛮多例子的。

我中学时手头还有一本书,都是讲这个。

数学家除了做证明外,构造反例也是很显功夫。

此外,个人认为最重要的例子,是我文中提到的布朗运动。正是由于它处处连续又处处不可导,恰好可以用来模拟股票走势。这是因为根据金融数学的基本原理,股票价格必然是没有规律的,每时每刻都让人搞不清楚方向(否则顺着方向买就赚大发了),也就不能有导数!

这个说下去就没底了,有机会再一点一点写吧。

家园 老师当年上课能如此解释下这些数学概念就好了

记得一年考试,要背诵傅立叶函数,非常郁闷。死记硬背非常无趣。高等数学学习动力不足,也是在于不明白所学所用之意义。

现在经莫扎特兄点播,顿有豁然开朗之感。数学之美,本该如此。决心重读一遍以前的数学教程。

多谢并送花一朵。

家园 学习是循序渐进的

要是有老师能讲讲这些东西,对学生肯定很有帮助的,不过这也不能绝对化。

我遇见过一个数学老师,他说:“数学是教不会的,但学得会”。意思是说,数学只有自己想通,领悟了,才真正算会,光听老师讲几遍也没用。

这个我自己有体会。比如我文中讲到微分和傅立叶级数,写得轻描淡写,那是因为我学过几遍,而且见过更深入的东西,明白它们的实质。如果一个刚刚学微积分的学生看到我这些,可能觉得蛮有道理,但还是没啥用,记不住的。

我经常和比我水平高的师兄,老师聊天,听的时候觉得非常有道理,很精辟,回家忘了一大半。基本上,人只能记住自己能理解的东西,或者比自己水平高一点点的东西,再多就不行了。(参见《倚天屠龙记》觉远大和尚圆寂之前的夜晚发生的故事)

华老讲过:“书要从薄念到厚,再从厚念到薄”,这个循序渐进的过程,每个人必须经过,省力不了。要不然,直接把最后的“薄”书灌输进去不就得了?

不过俺的帖子能给老兄带来灵感,小弟还是很欣慰的。


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家园 老兄的话很有道理啊

可惜好多做父母的不知道呢。生生扼杀了孩子的学习热情和兴趣后,请什么名师都难以起死回生了。

家园 真可以说是深入浅出的代表文了

虽然学数学的人在理解后也能想明白这些概念的含义,但是要像老兄这样简短干脆的类比出来,就不是人人能做到的了。其实很多概念,要是有老兄这样的文字来点拨,我想会省初学者的很大力气的。

家园 兄弟这是学习的大道理啊。花!
家园 晚看了好些年,过去一直都以为傅立叶这样的人是变态
家园 ee的,

本科时候天天念叨这辈子就被傅里叶和拉普拉斯毁了

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