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主题:【文摘】一道有趣的概率题 -- 天下第一银杏树

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  • 家园 【文摘】一道有趣的概率题

    hehe, 我们宿舍当时为它吵翻了天

    美国的“玛利亚幸运抢答”电台一日公布了这样一道题:在三扇门背后(比如说1号、2号及3号)藏了两只羊与一辆小汽车,如果你猜对了藏汽车的门,则汽车就是你的。现在先让你选择,比方说你选择了1号门。然后主持人打开了一扇门,让你看清楚这扇门背后是只羊,接着问你是否应该重新选择,以增大猜对汽车的概率?

    谁能给出回答呢?一号门背后是汽车的概率变了吗?

    关键词(Tags): #概率

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    • 家园 这个几年前第一次在<读者文摘>上看到的

      没想到能"招摇撞骗"这么多年.

    • 家园 换一种说法就可以凭直觉想清楚了

      如果理解为主持人知道哪扇门里有车,然后打开一扇有羊的门,把这个问题推向极端:

      有10000扇门,里面有1辆车和9999头羊,你随便指定一扇(车的概率1/10000)。然后主持人打开剩下9999扇中有羊的9998扇,你换还是不换?

      如果还不清楚,把它改得更加极端:

      有无穷扇门,里面有1辆车和无穷的羊,你随便指定一扇(车的概率是0)。然后主持人打开无穷扇有羊的门,剩下一扇门没有打开,换还是不换?

      呵呵,这下就显然要换了


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    • 家园 这是个老问题了,

      答案是换,重选是2选一的几率从1/3上升到1/2。

      不换的话还是3选1的结果,1/3的几率不会变。

    • 家园 同这个问题类似的是“三个囚犯的问题”

      解决的关键都是正确定义Event Space,并且正确使用条件概率的定义。

      三个囚犯,Alan, Bernard, Charles。Alan知道他们中的两个会被处决,另一个会被释放。每个人被释放的概率都是三分之一。

      Alan对监狱官说:“既然Bernard和Charles中至少有一个一定会被处决,如果你告诉我他们两个人中会被处决的一个名字,你没有告诉我任何信息。”监狱官认为Alan说的有道理,就告诉他Bernard会被处决。

      Alan听到后心中暗喜,自己骗过了监狱官。在监狱官回答他的问题之前,他获释的可能是三分之一。现在他和Charlie中必有一个人获释,他获释的可能提高到了二分之一。

      Alan的两个argument不可能都正确,哪个出了问题?

      答案见

      D.V.Lindley (1986) "Making Decisions" 41-44

      • 家园 Alan的第二个argument错了

        诚然,他和Charlie中必有一个人获释,但是并不意味着他们两人获释概率相等。

        他获释的可能仍然是三分之一,而Charlie获释的可能提高到了三分之二。

        • 家园 改正为: 同意
          • 家园 hiahia,反对!

            银杏树说明了2nd argument有问题,你说明了1st argument有问题。但是第一个有问题不表示第二个就没问题啊,你为啥要反对银杏树呢?至少没给出反对的理由。

            • 家园 三个囚犯的问题的详细解答

              让我们罗列一下几个基本事件的概率, 见下表:

              |监狱官答:B死 | 答:C死

              ----------------------------

              A活 | 1/6 | 1/6

              B活 | 0 | 1/3

              C活 | 1/3 | 0

              ----------------------------

              解释如下:

              若A活(1/3概率), 则B和C都要死, 故而监狱官的回答既可能是B也可能是C, 所以这俩事件的概率均为1/6.

              若B活(1/3概率), 则A和C都要死, 故而监狱官给A的回答只能是C, 所以这个事件的概率为1/3.

              若C活(1/3概率), 推理类上, 监狱官答道B死的概率为1/3.

              所以 P{监狱官答道B死} = 1/6 + 1/3 = 1/2

              于是 P{A活|监狱官答道B死}

              = P{A活 并且 监狱官答道B死}/P{监狱官答道B死}

              = (1/6) / (1/2)

              = 1/3

              保持不变.

              P{C活|监狱官答道B死} = (1/3)/(1/2) = 2/3

              变大了.

              关键词(Tags): #概率#贝叶斯定律#概率空间
              • 家园 嘿嘿,不急,还没完,继续深挖

                这题和下面的一样,在根基上有不少问题,不打牢的话,用小指头轻轻一戳,上层建筑就会摇晃。所以,还要继续刨根问底。科学就是这么进步的。

                来看你的这句话:

                若A活(1/3概率), 则B和C都要死, 故而监狱官的回答既可能是B也可能是C, 所以这俩事件的概率均为1/6.

                监狱官答B或答C的总概率为1/3,这是不错,但它们为什么就必须是等概率?有依据么?没有吧,这个是假设,虽然是个很合理的假设。但要是监狱官就是特别变态,他和B有仇,假如B和C都要死,他就只会告诉你B死,这种情况又当如何?结果全都变了吧?

                下面的题也有类似的问题。


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            • 家园 俺正要改贴子, 计算出错了, 同意银杏树的答案. 小筑好快的贴
    • 家园 American Statistician有一篇文章专门讨论这个问题

      Morgan, J.P, N.R. Chaganty, R.C. Dahiga and M.J. Doviak (1991) "Let's make a deal: The Player's Dilemma" American Statistician 45:284-289

    • 家园 无所谓,几率是一样的

      不重新选:几率是1/3

      重新选:1、原来选中汽车,则重新选后,选中汽车概率:1/3 * 0 =0;

      2、原来没有选中汽车,则重新选后,选中汽车概率:2/3 * 1/2 =1/3

      所以重新选后选中汽车的概率: 0+1/3 = 1/3

      所以是一样的,没有变化。

      • 家园 I disagree

        重新选:1. ...

        2、原来没有选中汽车,则重新选后,选中汽车概率:2/3 * 1/2 =1/3

        If you picked a goat, then the other two doors have to be a goat and a car. The host would ALWAYS show you a goat, and therefore the only remaining door has got to be a car. Thus, if you switch, you are guaranteed to pick the car. Therefore, in this case, the 概率 equals 2/3 * 1 = 2/3, rather than 1/3.

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