主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特
你们不知道，引力其实是幻觉。
我就一直不明白，为什么引力就正好是平方反比关系。还有库仑力也是。
用爱因斯坦的话来说：“宇宙最不可思议的是它可以被理解的。”
你觉得呢？
先更正一个错误，在第二步中， 应该是
。。。新的图形和原来被拼接的图形相比，增加了（L-1）个点，（2*L-K）条边，（L-K+1）个面
我考虑了以下的情况
1。每次拼接时，可以有多个面重合的情况。
2。与拼接的顺序无关（看不见图链接出处），只需要考虑新拼上去的金字塔的底边有多少条边与原来的重合，或者不重合；但是必须有重合，避免出现漏斗型。
即满足L-1>=0,
我们可以这样来拼接，先围绕一个底面，把所有的相邻的全部拼接完，再换另外一个底面，以此来保证重合线和不重合线都是连续的折线。
如果有额外维度的话平方反比率会偏离的。
另外库伦力和引力是很难类比的，当然引力是幻觉，呵呵，这个说起来话长啊。
加油！
那张图里，如果先拼ABD，等式右边一直是1，再拼
C的话（此时，每块与前面都有重合），E面的位置出现了一个空洞，此时等式右边会变成0。等E面把洞补上，又回到1。
但ABECD就会保持1。
总之顺序还是要注意的。
库伦力的来源是麦克斯韦方程组的第一个
d^{i}E^i~电荷密度,根据高斯定理，\int{E^i*dS^i}~电荷。假设空间各相是同性的，我们可以把E从积分里拿出来，所以 E*球面积~电荷。 球面积=4\pi*r^2, 于是E~1/r^2。要是我们生活在2维，E~1/r。
引力就怪异的多了，爱因斯坦场方程是
,这是他老人家等效性原理的杰作，要推出平方放比率可不是三下两下就搞定的，物理意义已不太一样，说来话长，我改天想到言简意赅的说法在接着八卦吧。
花！
我过一阵会写到黎曼几何，顺便提一句广义相对论。正想听专家八一八呢。
期待您的大作啊。
忙了几天，总算有时间把欧拉公式的解答写一写了。
先说几句欧拉吧。Leonard Euler出生于瑞士，长期在德国和俄罗斯工作。由于欧拉的巨大成就，三个国家一直都声称欧拉是本国数学家，嘴仗没少打。
这是瑞士法郎上的欧拉。印上钞票的数学家只有两位，大家猜猜另一位是谁。
德国邮票上的欧拉。边上写着欧拉公式。
苏联邮票上的欧拉。他的一只眼睛长期失明。
欧拉巨大的创作性鲜有匹敌。他是历史上所有数学家中最高产的一位。由于欧拉的著作甚多，而且又在三个国家工作过，整理出版欧拉全集是十分困难的事情。1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，花了九牛二虎之力，总算在90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，结果害得欧拉全集到今天还没有出齐。
再说一个关于他高产的小故事：据说欧拉有个助手负责把他的手稿拿去印刷出版。通常欧拉把写完的手稿放在一边，如果有新作就堆在上面，助手过一阵会来取走一批。由于欧拉写得比印刷还快，助手实在赶不上他的速度，结果他的作品的写作顺序和出版顺序常常相反，让读者很郁闷。
欧拉的作品不仅多，而且好。以他命名的定理是最多的。很难想象一个人怎么能在几十年内发现那么多美丽的定理公式。几年前一份著名数学杂志发起一个投票，评选人们认为最最美丽的定理，结果前5名里欧拉占了3个。第一名就是
欧拉之成就来源于他惊人的计算能力和记忆力。关于计算能力，有人说欧拉计算就像呼吸一样简单。后人称他为“分析的化身”，分析也就是数学分析，俗称微积分。大多数理工科的同学都晓得微积分的厉害，而欧拉的拿手绝活是心算微积分 ------ 不过这不是他故意显摆，而是没办法。欧拉中年一只眼睛失明（所以欧拉又被称为“独眼巨人”），另一只眼睛视力也很差，晚年时更是双目失明，而他完全失明的十年内还不停工作。他的心算绝活不仅体现计算能力，也说明他记忆力的强大，据说他晚年还能大段背诵幼年时看过的文章。
咱们就此打住，我就不展开欧拉的数学工作了。现在来看看欧拉公式的证明。
上回点评的时候我给了个提示，欧拉公式有多个版本，分别是多面体版本，球面版本，平面版本。事实上，对所有曲面都有相应的欧拉公式，区别仅在于右边的数，这个数被称为欧拉示性数（Euler characteristic）。
证明的关键是，上面三个版本可以互相转换。
第一个证明据说是法国数学家勒让德（Legendre）给出的：
1， 在凸多面体内任意取一点，以它为球心作一个很大的球，把整个多面体都包在内部。把球心看作光源，将凸多面体投影到球面上，则线段变成大圆弧。我们只需证明球面欧拉公式。
2， 对顶点数做数学归纳法。我们任取球面多面体的一个顶点，设它连出去k条线。去掉这个点和连线，则V减1，E减k，F减k-1。等式右端不变。
3， V=4时显然成立。
够简单吧？我相信初中程度的朋友应该都能看懂。下面第二个证明则转换为平面欧拉公式，然后下手。
第二个证明据说是柯西（Cauchy）给出的：
1， 取定多面体的一个面，把这个面“挖掉”，我们想象把多面体放在地面上方，让挖掉的面在最上头，且与地面平行。在这个面上方很近的位置取一个点作为光源，将剩下的多面体投影到地面上。则问题转化为平面欧拉公式，等式右边为1。
2， 做“三角剖分”。对每个多边形，通过内部连线，划成三角形。任何n边形可划为n-2个三角形。整个过程不会改变等式。
3， 对三角形用数学归纳法即可。
前两个证明都只用到很少的几何性质，对图形的形状，角度，长度等等没有任何限制，图形如果发生轻微的扭曲挪动都没有影响。而第三个证明则略有不同。
第三个证明的思路很简单，通过计算所有多边形的内角和来推出等式。
我们来考虑单位球面（半径为1的球面）上的公式。首先回忆一下，球面上两个大圆弧的夹角指的是它们交点处分别引出的两条切线之间的角度。
下面用两种不同的办法分别计算单位球面上所有多边形的内角和。
1， 前文（我爱莫扎特:【原创】勾股定理（中之三）--- 古怪的几何）提到三角形内角和等于Pi+面积。 对于n边形，不难看出内角和为Pi*(n-2)+面积。所有多边形内角和总共是Pi *(2E – 2F) + 4 Pi ，其中4 Pi 是单位球面表面积。
2， 对每个顶点，以它为顶点的所有夹角的和为2 Pi ，全加起来等于2 Pi *V。
两种途径计算的结果应该相等，所以欧拉公式成立。
有兴趣的朋友可以试着计算一下平面多边形的内角和，同样可以得出结论。
以上给出了三种不同的证明，事实上证明还有很多，比如可以看 http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/ 。
至此，这个小游戏告一段落。非常感谢各位参与的河友。前文点评中提到，比较好的思路有两套。一个是周师傅给出，并有不少网友加以完善。第二个是桑榆非晚给出，honeybl这几天还加以改进。应该说两种思路都对路，各有千秋。不过周师傅的解答较早，大家讨论的热情也很高。我想把通宝给他可能会好些。我会和铁手联系看看如何操作。大家如果有不同意见可以回帖告诉我。
关于欧拉公式，以及上面的三个证明，我打算再罗嗦几句，不过让兄弟喝口水先。
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既然提到了，我简短的说几句。大家也可以直接看 http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg 。
这是一个真实的故事，格尼斯堡（Knigsberg）是原普鲁士的一个小城，现在应该在俄国，改名为加里宁格勒（Kaliningrad），城里有条河，河上有七座桥。人们一直很想知道，是不是有一种办法可以把所有桥走一遍，且每个桥只经过一遍。
欧拉第一个解决了这个问题。他的解法开创了一个学科：图论（Graph theory），学计算机的朋友应该很熟悉。
因为解法不难，我很快的解释一下。首先把陆地看成点，把桥看出点点间的连线。
=> 
=> 
问题相当于说在这些点之间找一条道路，使得每条线都经过且只经过一次。这类问题称为“一笔画”问题。
欧拉给出了一笔画问题的一般解答。
如果我们把每个点连出去的线的数目称为该点的度数（degree）的话。则只有那些度数为奇数的点不超过两个的图才能够被一笔画。
这很好理解。一个一笔画的图，除去它的起点和终点外，中间每个点每次被经过都应该有一条线“进来”，一条线“出去”，因为每条线只用一次，该点的度数一定是偶数。于是只有起点终点可能有奇数的度数。
再看原题，它四个点的度数分别是5，3，3，3。当然无解啦。
不难吧。
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回顾一下，故事讲到现在，非欧几何还没真正出现欧式几何那样的图，没图的几何，谁信啊？！所以首先我们需要知道，一种“想象”的几何如何才能受到学术界的承认？
一种办法是在物理上证明非欧几何的意义，也就是直接找出宇宙不符合欧氏几何的证据。这其实是条正确的道路，直到广义相对论之前，人们普遍相信宇宙是个三维的欧式空间（加上时间的话，是四维空间）。但罗巴切夫斯基还是愿意尝试一下，他假定宇宙是个很大的双曲几何的空间，用他的理论代入，计算了地球的半径，结果很遗憾，误差相当大。不过到了一百多年后，人们用广义相对论计算得知，我们这个“膨胀”的宇宙很有可能是个双曲空间，还是四维的，老罗泉下有知，应该感到安慰吧。
第二种办法，是在数学上证明他们推理出的那么多结论与前四条公理无矛盾。请大家注意，老罗也好，鲍耶也好，他们推出了一套完美的理论，而且他们相信他们的理论没有矛盾。但他们并没有证明他们的理论没有矛盾！
有人可能很不满，这有什么好证的，都那么一大套理论了，怎么还有问题？可是您怎么能保证有个不知道什么的矛盾藏在不知道什么地方呢？也许只是他们做的还不够，还没看到那个问题吧。我知道的最夸张的例子，某数学家为了用反证法，硬生生搭建起100多页的理论，最后找到一个矛盾，终于证明一个定理。
可是要证明一套理论内部无矛盾（自洽）绝对不是一件简单的事儿。有人说数学是最严格的学科，其实有个叫做数理逻辑的学科（我也不知道它算不算数学分支）才是最严格的。说到严格，有个小笑话：
这是说不同学科的科学家观念的差异，数理逻辑学家和一般数学家的差异大概有数学家与物理学家的差异那么大。数理逻辑里有一套完整的理论，专门用来对付这类公理体系有没有矛盾之类的问题。要是让数理逻辑学家来说，欧式公理体系（五条公理）本身就含糊不清，语焉不详。为此，19世纪末德国数学家希尔伯特（David Hilbert）把这些公理重新改造一番，造出一个“希尔伯特公理体系”替代欧式公理体系。而要证明一个公理体系的内在不矛盾绝对不是一件容易的事情，事实上连自然数体系的不矛盾也是到20世纪才搞清楚的，这些故事我在后文里可能会提一句。
这也不行，那也不行，怎么办呢？Beltrami出场了，他做的事情说起来很简单，他让人们（在欧式几何框架下）“看见”双曲几何，这样一来，只要大家还承认欧式几何本身没有问题，那罗巴切夫斯基几何也就安全了。
他先后给出4种非欧几何的模型，我下面介绍其中一种，这个模型又称Poincare圆盘模型。Poincare是法国大数学家，也就是前文中提到对狭义相对论有突出贡献的那位。他在Beltrami之后独立发现了这个模型，不过他比前者有名的多，人们都以为他是首创者，就以他命名了。（等会我们会说到，后来的数学家Klein也独立发现了四个模型中的一个，被命名为Klein模型。Beltrami挺冤的！）
下面的话大家可以当童话来看。
如果说我们的宇宙是一张欧式平面的话，有一群外星人住在一个“圆盘宇宙”里，就是上图画的那样。圆盘里的几何对象在我们的世界和他们的世界有不同意义，我用蓝色表示在欧式平面里的意义（也就是正常的意义），用红色表示“圆盘宇宙”。咱们列个表：
圆盘内部（不含边界）的点 代表 “圆盘宇宙”的点
圆盘内部的与边界圆垂直的圆弧 代表 “圆盘宇宙”的直线，或称测地线
（垂直是指交点处的切线垂直）
上图画的其实是“圆盘宇宙”里纵横交错的直线（测地线）。
看到这里，估计很多朋友会有疑问，归纳起来大概有：
1， 直线怎么不是直的？
2， 这些弯曲的直线还能走最短距离么？
3， 咱们的世界里，直线能延伸到无穷，为啥这儿的直线那么短？
4， “圆盘宇宙”里直线都是弯的，角度怎么算？面积怎么算？
问题的关键其实就在勾股定理上。不过要讲清楚，得写点公式。咱们暂时搁一搁，先把不费脑子的部分看完。有兴趣的朋友可以看
在咱们地球人眼里，“圆盘宇宙”里会发生很多奇怪的事情。
比如过直线外一点有无穷多条平行线。（改变的第五公设，见图）
比如三角形内角和小于180度。（上次提过）。
再比如看起来大小差得很多的图形却全等，当然面积也相等。下面两张图非常有名，是著名画家Escher的作品。他总是喜欢画一些外星世界的图画。第一张画名为“天使与魔鬼”，里面的天使（或者魔鬼）分别全等，从而一样大小。第二幅画里的鱼也都一样大，且沿着测地线头尾衔接。大家如果觉得很难接受的话，可以想象这些画是画在一个大碗里，你从上面看下去，那些靠边沿的图案由于与视线平行，就显得很小，其实和碗底的图案一样大的。
很有意思吧。数学家们看到Beltrami的图后，一点就通，且一通百通，不久之后，罗巴切夫斯基几何的地位正式得到承认。人们也学着他，找到了很多种不同的模型。比如下图是在三维空间中的二维曲面描述罗巴切夫斯基几何。
在一段时间内，很多数学家做了大量非欧几何方面的工作。其中值得一提的是德国大数学家克莱因（Felix Klein）。
克莱因是继高斯之后，哥廷根（Gottingen）新一代领袖，正是在他和后来的希尔伯特的领导下，德国哥廷根成为无可争议的世界数学中心，甚至于希尔伯特说出了“哥廷根外无生活（Extra Gottingen non est vita, si est vita non est ita）”这样的话。可见，克莱因的行政能力无与伦比。与许多散漫的教授不同，克莱因严谨，高傲，甚至有些拒人于外。后人常称他为“君王般的克莱因”。由于他的贡献，他被德国授予枢密顾问官职务，从此他不许别人称他为“教授”，而必须改称“枢密顾问阁下”。
克莱因在几何学发展史上有很重要的地位。
首先，他独立发现了Beltrami四种模型中的一种，并成功的将非欧几何与欧式几何正式联系在一起，把非欧几何的基础与欧式几何的基础正式等同起来，再加上希尔伯特后来把欧式几何重新“公理化”的工作，两种几何终于安全了。
第二，正是他发现了另一种非欧几何 --- 椭圆几何的一个模型。还记得前文说过的球面几何么？克莱因发现，只要把球面的“对径点”（直径两端的顶点）“粘合”起来，得到的模型就可以用来描述椭圆几何。
第三，最著名的事情是，克莱因在德国的一个小镇埃尔朗根（Erlangen）发表了一个里程碑式的演讲，史称埃尔朗根纲领（Erlangen program）。报告中，他把几何学用变换群的思想重新组织了起来，使得当时层出不穷的各种几何完整的统一了起来。这种统一的思想让人们对几何学从整体上有了全新的认识。也正是他，把罗巴切夫斯基几何命名为“双曲几何”，把黎曼发现的另一种几何命名为“椭圆几何”。
经过了将近100年的时间，非欧几何从被发现，到人们逐渐掌握，再到开花结果直到出现统一的理论，一切都是那么美好而和谐。我们的故事似乎应该讲完了。可人们不知道的是，就在他们身边，一场更大更强的几何学风暴正在孕育。。。
是时候让我们聊聊高斯了。
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刚刚说了，要真正理解Poincare圆盘模型，需要一点点数学。大家别怕，咬咬牙，一会儿就过去了。
关键在于理解勾股定理。前面咱们已经说了，非欧几何不再成立勾股定理。但我们再深入思考一下，什么是勾股定理呢？勾股定理其实就是计算两个点间距离的公式。不同的距离公式将带来完全不同的几何性质。我们前面产生的几个疑问也都可以通过距离公式一并解答。
设模型的大圆盘为单位开圆盘，即半径为1的不含边界的圆盘，我们令两点间距离是：
这里u=(x1,y1) , v=(x2,y2) 分别是圆盘内两个点，
估计不少朋友会问，你怎么可以随便给个距离啊？在数学上，距离（又称度量）确实是个比生活中宽松得多的概念。一个空间内的距离其实就是点与点之间定义的非负值的函数。确切的说，只要有一个二元函数d(x,y)满足：（x，y是空间内任意两点）
1， d(x,y)>=0 (非负性)
2， d(x,y)=0 当且仅当 x=y (不可区分者的同一性)
3， d(x,y)=d(y,x) (对称性)
4， d(x,y)<=d(x,z)+d(y,z) （三角不等式）
我们就说d是一个距离。
可以验证，刚刚给出的公式是一个距离。
上面的距离公式有个很有趣的性质：当两个点越靠近圆心时，它们间的距离越小。而靠近圆盘边界的时候，两点间距离越来越大，趋向无穷。
有了距离，咱们来研究直线。模型大家都看到了，直线不再是直的。怎么回事呢？
我倒要反问一句，什么叫直的。小朋友可能会回答：拿直尺量的就是直的。可我们稍微长大一些就知道，如果拿放大镜来看，直尺远远不算直。一个好一点的回答是，光走的路线是直的。但是，自从人们听说广义相对论之后，都知道光也常常走“弯”路。不过光毕竟是光，它不管怎么走，总是走最短的路。所以在数学上，这里所讨论的“直线”其实指的就是走最短距离的那条线。这条线的学名称为测地线。
好，明白了什么是直线（测地线），又知道如何算距离，数学家只要动动笔就能把它们算出来，最后发现圆盘模型中的测地线恰恰就是那些与边界圆周垂直的圆弧。
再看问题3。现在的测地线是不是无限长呢？是的，因为长度（距离）的定义和在欧式空间不同了。会积分的同志可以试着沿着测地线做距离的积分，很容易发现模型中的测地线的确是无限长的。
问题4，角度与面积。大家还记不记得欧式几何里有个余弦定理？
此处
余弦定理其实也是勾股定理的推广。我们原封不动的把它搬到圆盘模型中，立刻可以从距离计算出相应的角度。
有了距离和角度，面积也就随之而来。
最后再回顾一下Escher的两张图，正如上面所述，越靠边界的地方，距离越大。所以边上看上去很小的图形其实与圆盘里面的图形一样大。
总之，有了距离，就有了一切。
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