主题：【原创】【讨论】趣味数学 之 三门问题 -- 孟词宗

这里说的不是“三体问题”，而是“三门问题”，又称蒙蒂·霍尔问题。

前几天有好几个同学在讨论“男孩女孩悖论”的时候提到这个问题，所以这里简单说一下。

蒙蒂·霍尔是个著名的电视节目主持人。这个“三门问题”是假借了一个他节目的场景来提问的。所以才被称为蒙蒂·霍尔问题。

问题有很多变种，标准的原始问题如下：

这个问题的等价问题最早在19世纪末就被提出并解答了。但这个问题直到上世纪90年代才突然流行。主要来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件。这位玛丽莲·沃斯·莎凡特号称是吉尼斯世界记录智商最高者（10岁时智商 228，35岁时186，可见人的确越老越糊涂 ）

上题的正确答案是 如果换门，则得奖几率上升为三分之二。直观的解释是：当三扇门都关闭时，选中汽车的概率为1/3。选定后，再打开一扇有山羊的门，则等于去除了1/3的失败概率。于是换门的胜率上升为（1-1/3=2/3）。

这相当违反直觉。但无数次的模拟，不论是用卡牌手工模拟，还是用计算机模拟都证明换门的胜率为2/3。

那么，现在我们把玩法稍微改变一下。当玩家选定一扇门，主持人打开一扇有山羊的门后，主持人没有让玩家选择是否换门，而是让等在后台，完全没有看到和听到全过程的另一位玩家出来任选一扇门。这次选择的结果如何？

答案是新玩家的胜率是二分之一。

那么，这里的悖论是，新玩家在两扇门里二选一，而老玩家选择是否换门也是在两扇门里二选一。为什么他们的胜率会不一样？

静待各位解答。

主持人不知道门后情形，他从玩家没选的2扇门中任选一扇门打开，发现后面是山羊。这时候玩家要不要换门？

3扇门里有一扇门已经被主持人打开了。

你说要换，这个选择是安全的。换了没坏处

因为主持人打开哪扇门是根据第一个人的选择决定的,所有第一个换选择相当于选了两扇门.而第二个人选择哪扇门是在第一扇门打开后,所以和打开哪扇门无关.

请再思考一下。有更好的解释方法。

虽然形式上看不太一样，但本质上一样，和三门问题对照看可能有更深的体会：

三扇门中，没选的两个门几率为三分之二，主持人排除掉一个错误答案，换门也即相当于同时选择了剩余的两扇门。胜率变成了三分之二。

上面应该没解释清楚。现在打个比方，三扇门，只有一个正确答案。你先选一个，我选剩下的两个。那当然就是我的胜率比你大一倍。现在我去掉一个错误的后把剩下那扇门交给你，其实是相当于，我的三分之二的胜率，全部转移给你了。你现在是三分之二的胜率，而不是两个未知的选一个的二分之一的胜率。

附加题问的是：

现在我们把玩法稍微改变一下。当玩家选定一扇门，主持人打开一扇有山羊的门后，主持人没有让玩家选择是否换门，而是让等在后台，完全没有看到和听到全过程的另一位玩家出来从剩下未开的两扇门中任选一扇门。这次选择的结果如何？

答案是新玩家的胜率是二分之一。

那么，这里的悖论是，新玩家在两扇门里二选一，而老玩家选择是否换门也是在两扇门里二选一。为什么他们的胜率会不一样？

新玩家是独立的二选一，可能选的是已经选过的，也可能是未选过的。

而老玩家是必须选未选过的。未选过的那扇门包括一扇错误的门。未选过的那扇门本质上是是两扇门

按照古典概型的”不充分理由原则（Insufficient Reason Principle）“，也即：“未知的概率都是等概率”，新玩家第一次选择每个门的概率相等，都是1/2。

对老玩家，第一次选择每个都是1/3，主持人排除掉一个后，第一次选择的门还是1/3（这点也就是关键），最后那个当然是1-1/3=2/3。

这个其实体现了概率的主观性，对主持人来说，每个门的概率都是确定的0或1，玩家的选择对他/她来说也没有影响。

还是认为两人都对？你有过"概率的主观性“的表述。