淘客熙熙

主题:【文摘】一道有趣的概率题 -- 天下第一银杏树

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家园 I see. It all boils down to the question what is Omega?

This can be better understood by drawing a Venn diagram.

In your interpretation, the case might as well be presented as follows: The hostess first pick a door randomly, which happens to reveal a goat. Conditioned on this, would you have any preference as to which of the remaining two doors to pick? Of course not, since each door would have the probability of 1/2 of hiding a car!

家园 American Statistician有一篇文章专门讨论这个问题

Morgan, J.P, N.R. Chaganty, R.C. Dahiga and M.J. Doviak (1991) "Let's make a deal: The Player's Dilemma" American Statistician 45:284-289

家园 同这个问题类似的是“三个囚犯的问题”

解决的关键都是正确定义Event Space,并且正确使用条件概率的定义。

三个囚犯,Alan, Bernard, Charles。Alan知道他们中的两个会被处决,另一个会被释放。每个人被释放的概率都是三分之一。

Alan对监狱官说:“既然Bernard和Charles中至少有一个一定会被处决,如果你告诉我他们两个人中会被处决的一个名字,你没有告诉我任何信息。”监狱官认为Alan说的有道理,就告诉他Bernard会被处决。

Alan听到后心中暗喜,自己骗过了监狱官。在监狱官回答他的问题之前,他获释的可能是三分之一。现在他和Charlie中必有一个人获释,他获释的可能提高到了二分之一。

Alan的两个argument不可能都正确,哪个出了问题?

答案见

D.V.Lindley (1986) "Making Decisions" 41-44

家园 Alan的第二个argument错了

诚然,他和Charlie中必有一个人获释,但是并不意味着他们两人获释概率相等。

他获释的可能仍然是三分之一,而Charlie获释的可能提高到了三分之二。

家园 高人啊!您是Stanford统计系的吧?:)
家园 改正为: 同意
家园 hiahia,反对!

银杏树说明了2nd argument有问题,你说明了1st argument有问题。但是第一个有问题不表示第二个就没问题啊,你为啥要反对银杏树呢?至少没给出反对的理由。

家园 俺正要改贴子, 计算出错了, 同意银杏树的答案. 小筑好快的贴
家园 三个囚犯的问题的详细解答

让我们罗列一下几个基本事件的概率, 见下表:

|监狱官答:B死 | 答:C死

----------------------------

A活 | 1/6 | 1/6

B活 | 0 | 1/3

C活 | 1/3 | 0

----------------------------

解释如下:

若A活(1/3概率), 则B和C都要死, 故而监狱官的回答既可能是B也可能是C, 所以这俩事件的概率均为1/6.

若B活(1/3概率), 则A和C都要死, 故而监狱官给A的回答只能是C, 所以这个事件的概率为1/3.

若C活(1/3概率), 推理类上, 监狱官答道B死的概率为1/3.

所以 P{监狱官答道B死} = 1/6 + 1/3 = 1/2

于是 P{A活|监狱官答道B死}

= P{A活 并且 监狱官答道B死}/P{监狱官答道B死}

= (1/6) / (1/2)

= 1/3

保持不变.

P{C活|监狱官答道B死} = (1/3)/(1/2) = 2/3

变大了.

关键词(Tags): #概率#贝叶斯定律#概率空间
家园 嘿嘿,不急,还没完,继续深挖

这题和下面的一样,在根基上有不少问题,不打牢的话,用小指头轻轻一戳,上层建筑就会摇晃。所以,还要继续刨根问底。科学就是这么进步的。

来看你的这句话:

若A活(1/3概率), 则B和C都要死, 故而监狱官的回答既可能是B也可能是C, 所以这俩事件的概率均为1/6.

监狱官答B或答C的总概率为1/3,这是不错,但它们为什么就必须是等概率?有依据么?没有吧,这个是假设,虽然是个很合理的假设。但要是监狱官就是特别变态,他和B有仇,假如B和C都要死,他就只会告诉你B死,这种情况又当如何?结果全都变了吧?

下面的题也有类似的问题。


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家园 这是个老问题了,

答案是换,重选是2选一的几率从1/3上升到1/2。

不换的话还是3选1的结果,1/3的几率不会变。

家园 换一种说法就可以凭直觉想清楚了

如果理解为主持人知道哪扇门里有车,然后打开一扇有羊的门,把这个问题推向极端:

有10000扇门,里面有1辆车和9999头羊,你随便指定一扇(车的概率1/10000)。然后主持人打开剩下9999扇中有羊的9998扇,你换还是不换?

如果还不清楚,把它改得更加极端:

有无穷扇门,里面有1辆车和无穷的羊,你随便指定一扇(车的概率是0)。然后主持人打开无穷扇有羊的门,剩下一扇门没有打开,换还是不换?

呵呵,这下就显然要换了


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家园 这个几年前第一次在<读者文摘>上看到的

没想到能"招摇撞骗"这么多年.

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